Question

（2012•南崗區(qū)三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-3x+9交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，以AB為一邊在其右側(cè)作矩形ABCD，AB=2BC．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）作∠AOB的平分線交CD邊于E，點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，以3

2

個(gè)單位每秒的速度向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，交邊AB于點(diǎn)M，交矩形另一邊于點(diǎn)N，連接EM、EN，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△EMN的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量取值范圍；
（3）在（2）的條件下，連接CM、CN，當(dāng)t為何值時(shí)，CM=CN．

Answer 1

分析：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥x軸于K，構(gòu)建相似三角形：△AOB∽△ADK；利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求得相似比是

1

2

，然后由圖形與坐標(biāo)的性質(zhì)來(lái)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）需要分類討論：①如圖2：M在AB上，N在AD上；②如圖3：M在AB上，N在CD上；
（3）需要分類討論：①如圖4：M在AB上，N在AD上；②如圖5：M在AB上，N在CD上．

解答：解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DK⊥x軸于K，易證△AOB∽△ADK，
∴

OA

DK

=

OB

AK

=

AB

AD

．
∵AB=2BC，BC=AD
∴

AB

AD

=

2

1

OA=2DK，OB=2AK
∵直線y=-3x+9交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，
∴A（3，0），B（0，9），OA=3，OB=9．
∴DK=

3

2

，AK=

9

2

，∴OK=

15

2

，∴D（

15

2

，

3

2

）；

（2）∵AB∥DC，直線AB的解析式為y=-3x+9
∴設(shè)直線CD的解析式為：y=-3x+b，
∵直線CD經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（

15

2

，

3

2

），
∴

3

2

=-3×

15

2

+b，
∴b=24，
∴直線CD的解析式為：y=-3x+24．
∵OE與直線CD交于點(diǎn)E；
∴E（6，6）．
①如圖2：過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥MN于點(diǎn)Q．M在AB上，N在AD上時(shí)，此時(shí)0＜t≤

1

2

，S=

1

2

MN•EQ=

1

2

×10t×（6-3t）=-15t²+30t

②如圖3：過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥MN于點(diǎn)Q．M在AB上，N在CD上時(shí)，此時(shí)

1

2

＜t＜2，S=

1

2

MN•EQ=

1

2

×5×（6-3t）=-

15

2

t+15


（3）①如圖4：M在AB上N在AD上時(shí)，在Rt△BCM中，可求：BC=

3

2

10

，
BM=3

10

-

10

t，
在Rt△CND中，可求：DC=3

10

，
DN=

3

2

10

-3

10

t，
∴根據(jù)勾股定理，得
CM²=CN²，即(

3

2

10

)2+（3

10

-

10

t）²=（3

10

）²+（

3

2

10

-3

10

t）²，
可解t₁=0，t₂=

3

8

∵0＜t≤

1

2

，∴t=

3

8

．

②如圖5：M在AB上，N在CD上時(shí)，
此時(shí)CM=CN．
在Rt△BCM中，可求：BC=

3

2

10

，
BM=3

10

-

10

t，
可求CT=

21

2

-3t，TN=

1

2

MN=

5

2

，
tan∠TCN=tan∠OBA=

1

3

，
∴

5 2

21 2 -3t

=

1

3

，
∴t=1．
綜上所述：t=

3

8

或t=1時(shí)，CM=CN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及三角形的面積計(jì)算等知識(shí)，重點(diǎn)考查考生利用數(shù)形結(jié)合解題的能力．