Question

如圖，BD為⊙O的直徑，點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)，AD交BC于E點(diǎn)，DF是⊙O的切線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，AE=2，ED=4，下列結(jié)論：①△ABE∽△ABD；②AB=2

3

；③tan∠ADB=

3

3

；④△DEF是正三角形；⑤弧AB的長(zhǎng)=

3

3

π．其中正確的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：①由于A是弧BC的中點(diǎn)，故∠ADB=∠ABC，再加上公共角∠A，即可證得所求的三角形相似．
②根據(jù)△ABE∽△ADB，可知其對(duì)應(yīng)邊成比例，再由AE=2，ED=4即可求出答案．
③由（1）的相似三角形所得比例線段，可求得AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可在Rt△ABD中，求得∠ABD的正切值．
④連接CD，由RT△BAD的邊可得∠ADB=30°，再由點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)，可得∠ADB=∠EDC=30°，從而得出∠CED=60°；再利用DF是⊙O的切線，得出∠EDF=60°，即可得出△DEF是正三角形．
⑤由RT△BAD的邊角關(guān)系，可得出BD=4

3

，從而得出圓的半徑，由∠BOA=60°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解．

解答：證明：①∵點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)，
∴∠ABC=∠ADB，
又∵∠BAE=∠BAE，
∴△ABE∽△ADB．故①正確，
②∵△ABE∽△ADB，
∴

AB

AD

=

AE

AB

，
∴AB²=AD•AE=（AE+ED）•AE=（2+4）×2=12，
∴AB=2

3

．故②正確，
③∵AB=2

3

，
在Rt△ADB中，tan∠ADB=

AB

AD

=

2 3

6

=

3

3

．故③正確
④如圖，連接CD，則∠BCD=90°；

由AB=2

3

，AD=6，∠BAD=90°，得∠ADB=30°，
∵點(diǎn)A是弧BC的中點(diǎn)，
∴∠ADB=∠EDC=30°，
∴∠CED=60°；
∵DF是⊙O的切線，
∴∠EDF=60°，
∴∠EFD=60°，
∴△DEF是正三角形；故④正確，
⑤∵AB=2

3

，AD=6，∠BAD=90°，
∴BD=4

3

，
∴r=2

3

，
∵∠BOA=60°，
∴l(xiāng)=

60π×2 3

180

=

2 3

3

，故⑤錯(cuò)誤．
正確的個(gè)數(shù)為4個(gè)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合題，涉及相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、圓心角、弧的關(guān)系、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．