【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(4,0)與y軸交于點(diǎn)C(0,2),拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D.

(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)在拋物線的對稱軸是否存在點(diǎn)P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形,如果存在,求出P點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,請說明理由;
(3)點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形CDBF的面積最大?并求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:把A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)代入y=ax2+bx+c中得: ,

解得:

故拋物線的表達(dá)式為:y=﹣ x2+ x+2


(2)

解:y=﹣ x2+ x+2=﹣ (x﹣ 2+

則D( ,0),

在Rt△OCD中,OC=2,OD=

由勾股定理得:CD= = ,

如圖1,

①當(dāng)CD=DP1時(shí),△PCD是等腰三角形,

∴P1 , ),

②當(dāng)CD=DP2時(shí),△PCD是等腰三角形,

∴P2 ,﹣ ),

③當(dāng)CD=CP3時(shí),△PCD是等腰三角形,

過C作CE⊥DP1于E,

∵C(0,2),

∴DE=OC=2,

∵CD=CP3,

∴DE=P3E=2,

∴P3 ,4),

綜上所述,P點(diǎn)的坐標(biāo)為:P1 ),P2 ,﹣ ),P3 ,4)


(3)

解:如圖2,

∵A(﹣1,0),對稱軸是:x=

∴B(4,0),

設(shè)BC的解析式為:y=kx+b,

把B(4,0),C(0,2)代入得: ,

解得:

∴BC的解析式為:y=﹣ x+2,

設(shè)E(m,﹣ m+2),F(xiàn)(m,﹣ m2+ m+2),

∴EF=﹣ m2+ m+2﹣(﹣ m+2)=﹣ m2+2m,

∴S四邊形BDCF=SBCD+SBFC= BDOC+ EFOB= × ×2+ (﹣ m2+2m)×4,

S=﹣m2+4m+2.5=﹣(m﹣2)2+6.5(0<m<4),

當(dāng)m=2時(shí),﹣ m+2=﹣ ×2+2=1,

∴當(dāng)m=2時(shí),四邊形CDBF的面積最大,最大為6.5,此時(shí)E(2,1).


【解析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線的表達(dá)式;(2)以CD為腰的等腰三角形有三個(gè):①②以D為圓心,以CD為半徑畫弧交對稱軸于P1、P2 , ③以C為圓心,以CD為半徑畫弧,交對稱軸于P3 , 分別求出這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo);(3)先根據(jù)對稱性求點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,0),再求直線BC的解析式,設(shè)出點(diǎn)E和F的坐標(biāo),表示EF的長;則四邊形BDCF的面積等于兩個(gè)三角形面積的和,其中△BDC是定值,△BFC的面積=鉛直高度與水平寬度的積,代入面積公式可求得S的解析式,求最值即可.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的坐標(biāo)與圖形變化-對稱,需要了解關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的特征:兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對稱時(shí),它們的坐標(biāo)中,x相等,y的符號相反,即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為P’(x,-y);關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的特征:兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對稱時(shí),它們的坐標(biāo)中,y相等,x的符號相反,即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為P’(-x,y)才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖,邊長為的等邊三角形的頂點(diǎn)分別在邊,上當(dāng)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí),隨之在邊上運(yùn)動(dòng),等邊三角形的形狀保持不變,運(yùn)動(dòng)過程中,點(diǎn)到點(diǎn)的最大距離為( )

A. B. C. D.

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甲公司方案:每月的養(yǎng)護(hù)費(fèi)用y(元)與綠化面積x(平方米)是一次函數(shù)關(guān)系,如圖所示.

乙公司方案:綠化面積不超過1000平方米時(shí),每月收取費(fèi)用5500元;綠化面積超過1000平方米時(shí),每月在收取5500元的基礎(chǔ)上,超過部分每平方米收取4.

(1)求如圖所示的yx的函數(shù)解析式;(不要求寫取值范圍)

(2)如果某學(xué)校目前的綠化面積是1200平方米.試通過計(jì)算說明:選擇哪家公司的服務(wù),每月的綠化養(yǎng)護(hù)費(fèi)用較少.

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A. 1 B. 1+ C. 2+ D. 3

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(1)=________.

(2)=5,則x=____.

(3)同理表示數(shù)軸上有理數(shù)x所對應(yīng)的點(diǎn)到-12所對應(yīng)的兩點(diǎn)距離之和,請你找出所有符合條件的整數(shù)x,使得=3,這樣的整數(shù)是________(直接寫答案)

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A.( ,n)
B.(m,n)
C.(m,
D.(

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A.1
B.2
C.3
D.4

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(1)按要求安排A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù),有哪幾種方案?請你設(shè)計(jì)出來;

(2)設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品總利潤為y元,其中一種產(chǎn)品生產(chǎn)件數(shù)為x件,試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并利用函數(shù)的性質(zhì)說明那種方案獲利最大?最大利潤是多少?

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