Question

如圖，△ABC中，E、F分別是AB、AC上的點．①AD平分∠BAC，②DE⊥AB，DF⊥AC，③AD⊥EF．以此三個中的兩個為條件，另一個為結(jié)論，可構(gòu)成三個命題，即：①②→③，①③→②，②③→①．
三個選項中正確的是________．

Answer 1

①②→③；②③→①
分析：三選項中正確的是①②→③；②③→①，①②→③正確，理由為：由AD為角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分線定理得到DE=DF，由AD為公共邊，利用HL可得出直角三角形AED與直角三角形AFD全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到AE=AF，利用三線合一得到AD垂直于EF，得證；②③→①，理由為：如圖2，設(shè)AD的中點為O，連接EO，F(xiàn)O，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到OE=OF=OA=OD，得到A，E，F(xiàn)，D四點共圓，由直徑AD垂直于EF，利用垂徑定理得到AD為角平分線，得證．
解答：三選項中正確的是①②→③；②③→①，
①②→③正確，理由為：
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF；
②③→①正確．如下圖，

設(shè)AD的中點為O，連接OE，OF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴OE，OF分別是Rt△ADE，Rt△ADF斜邊上的中線，
∴OE=AD，OF=AD，
即點O到A、E、D、F的距離相等，
∴四點A、E、D、F在以O(shè)為圓心，AD為半徑的圓上，AD是直徑，
∴EF是⊙O的弦，
∵EF⊥AD，
∴∠DAE=∠DAF，
即AD平分∠BAC．
故答案為：①②→③；②③→①．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線定理，垂徑定理，直角三角形斜邊上的中線，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．