【題目】已知拋物線y1=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,1),直線1的解析式為y2=2mx+3m2+4nm+4n2,且l與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn).

(1)求b、c的值;

(2)若函數(shù)y1+y2的圖象與x軸始終有公共點(diǎn),求直線l的解析式;

(3)點(diǎn)P是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)P,使PAB為等腰角形?若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)b的值為2,c的值為2;(2)當(dāng)PAB是等腰三角形時(shí),點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣1,4)或(﹣1,)或(﹣1,﹣)或(﹣1,2).

【解析】

試題分析:(1)利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式,待定系數(shù)法列出方程組即可解決問(wèn)題.(2)根據(jù)△≥0,以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問(wèn)題.(3)首先求出A、B坐標(biāo),分三種情形討論即可①當(dāng)BA=BP時(shí),②當(dāng)AB=AP時(shí),③當(dāng)PA=PB時(shí).

試題解析:(1)拋物線y1=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,1),

,解得:,

b的值為2,c的值為2.

(2)y1+y2=x2+2x+2+2mx+3m2+4nm+4n2=x2+(2+2m)x+3m2+4nm+4n2+2,

函數(shù)y1+y2的圖象與x軸始終有公共點(diǎn),

∴△=(2+2m)2﹣4×1×(3m2+4nm+4n2+2)0,即﹣4(m﹣1)2﹣4(m+2n)20.

(m﹣1)20,(m+2n)20,

m=1,n=﹣,

直線l的解析式為y=2x+2.

(3)如圖,A(﹣1,0),B(0,2).AB==,對(duì)稱軸x=﹣1,

①當(dāng)BA=BP時(shí),可得P1(﹣1,4),

②當(dāng)AB=AP時(shí),可得P2(﹣1,),P3(﹣1,﹣),

③當(dāng)PA=PB時(shí),可得P4(﹣1,2).

綜上所述,當(dāng)PAB是等腰三角形時(shí),點(diǎn)P坐標(biāo)為(﹣1,4)或(﹣1,)或(﹣1,﹣)或(﹣1,2).

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