Question

【題目】拋物線y=ax2+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為C，點(diǎn)P在拋物線上，且位于x軸下方．
（1）若P（1，﹣3）、B（4，0），
①求該拋物線的解析式；
②若D是拋物線上一點(diǎn)，滿足∠DPO=∠POB，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）如圖2，在（1）中的拋物線解析式不變的條件下，已知直線PA、PB與y軸分別交于E、F兩點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)P運(yùn)動時，OE+OF是否為定值？若是，試求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①將P（1，﹣3），B（4，0）代入y=ax2+c，得 ，解得 ，

∴拋物線的解析式為y= x2﹣ ；

②如圖1，

當(dāng)點(diǎn)D在OP左側(cè)時，

由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，

∴D與P關(guān)于y軸對稱，且P（1，﹣3），

∴D（﹣1，﹣3）；

當(dāng)點(diǎn)D在OP右側(cè)時，延長PD交x軸于點(diǎn)G．

作PH⊥OB于點(diǎn)H，則OH=1，PH=3．

∵∠DPO=∠POB，

∴PG=OG．

設(shè)OG=x，則PG=x，HG=x﹣1．

在Rt△PGH中，由x2=（x﹣1）2+32，得x=5．

∴點(diǎn)G（5，0）．

∴直線PG的解析式為y= x﹣ ，

解方程組 得 或 ，．

∵P（1，﹣3），

∴D（ ，﹣ ）．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣1，﹣3）或（ ，﹣ ）．

（2）

解：點(diǎn)P運(yùn)動時，OE+OF是定值，定值為2，理由如下：

如圖2，作PQ⊥AB于Q點(diǎn)，

設(shè)P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），則at2+c=0，c=﹣at2．

∵PQ∥OF，

∴ = ，

∴OF= =﹣ = ═amt+at2．

同理OE=﹣amt+at2，

∴OE+OF=2at2=﹣2c=2OC= ．

【解析】（1）①根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，可得答案；②根據(jù)平行線的判定，可得PD∥OB，根據(jù)函數(shù)值相等兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）作PQ⊥AB于Q點(diǎn)，設(shè)P（m，am2+c），A（﹣t，0），B（t，0），可表示出OE、OF的長，可得答案．