Question

我們知道兩個一次函數(shù)y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂，當k₁=k₂時，這兩個一次函數(shù)的圖象相互平行，那么兩個一次函數(shù)的圖象什么情況下相互垂直呢？下面我們就來探索．
（1）畫一畫 
在同一平面直角坐標系下畫出一次函數(shù)y=2x+1，y=-2x+3，y=

1

2

x-1，y=-

1

2

x+2的圖象；
（2）想一想 
仔細觀察圖象，結合四個一次函數(shù)的解析式提出猜想：當

k₁•k₂=-1

時，兩個一次函數(shù)y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂的圖象相互垂直；
（3）用一用 
利用（2）中的結論解決下面問題如圖：已知正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象和⊙P相切于點A，點P在x軸上，OP=3厘米，求⊙P的面積．

Answer 1

分析：（1）分別求出直線與坐標軸的交點，然后根據(jù)兩點確定一條直線，利用兩點法作出直線圖象即可；
（2）結合圖象根據(jù)互相垂直的兩直線解析式的k值解答；
（3）根據(jù)（2）的結論求出直線AP的k值，然后求出直線AP的解析式，與OA的解析式聯(lián)立求解得到點A的坐標，再利用勾股定理求出OA的長度，再次利用勾股定理求出PA的長度，然后根據(jù)圓的面積公式列式計算即可得解．

解答：解：（1）①x=0時，y=1，y=0時，2x+1=0，解得x=-

1

2

，
所以，直線y=2x+1經(jīng)過點（0，1）（-

1

2

，0），
②當x=0時，y=3，當y=0時，-2x+3=0，解得x=

3

2

，
所以，直線y=-2x+3經(jīng)過點（0，3）（

3

2

，0），
③當x=0時，y=-1，當y=0時，

1

2

x-1=0，解得x=2，
所以，直線y=

1

2

x-1經(jīng)過點（0，-1）（2，0），
④當x=0時，y=2，當y=0時，-

1

2

x+2=0，解得x=4，
所以，直線y=-

1

2

x+2經(jīng)過點（0，2）（4，0），
作圖如圖所示；

（2）由圖可知，y=2x+1與y=-

1

2

x+2垂直，y=-2x+3與y=

1

2

x-1垂直，
∵2×（-

1

2

）=-1，-2×

1

2

=-1，
∴猜想當k₁•k₂=-1時，y=k₁x+b₁，y=k₂x+b₂的圖象相互垂直；
故答案為：k₁•k₂=-1；

（3）根據(jù)（2）的結論，
∵正比例函數(shù)y=

1

2

x的圖象和⊙P相切于點A，
∴直線AP的k值等于-2，
所以，設直線AP的解析式為y=-2x+b，
∵OP=3，
∴點P的坐標為（3，0），
∴-2×3+b=0，
解得b=6，
∴直線AP的解析式為y=-2x+6，
聯(lián)立

y=-2x+6 y= 1 2 x

，
解得

x= 12 5 y= 6 5

，
所以，OA=

( 12 5 )2+( 6 5 )2

=

6

5

5

，
AP=

OP2-OA2

=

9- 36 5

=

3

5

5

，
⊙P的面積=π•AP²=π•（

3

5

5

）²=

9

5

π．

點評：本題是對一次函數(shù)的綜合考查，主要涉及利用兩點法作一次函數(shù)圖象，聯(lián)立兩直線解析式求直線的交點，勾股定理的應用，是綜合題，但難度不大，讀懂題目信息，準確作出圖形是解題的關鍵．