【答案】
分析:(1)根據(jù)m=n,我們可得出四邊形AOBC應(yīng)該是個(gè)正方形.要證EF=AE,可通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)實(shí)現(xiàn),在OA上取點(diǎn)C,使AG=BE,則OG=OE.那么我們的目的就是證三角形ABE和EBF全等,這兩個(gè)三角形中已知的條件只有AG=BE,我們發(fā)現(xiàn)∠AGE和∠EBF都是90+45=135°,而∠GAE和∠FEB都是∠AEO的余角,那么這兩組對(duì)應(yīng)角就相等,構(gòu)成了三角形全等的條件,于是EF=AE了.
(2)可用反證法來(lái)求解,方法同(1)類似,也是通過(guò)構(gòu)建全等三角形來(lái)求解.作FH⊥x軸于H,假設(shè)題目給出的條件成立,通過(guò)證明三角形AOE和EHF全等來(lái)得出線段相等,即AO=EH,OE=FH,根據(jù)FBH=45°,設(shè)E(a,0).那么FH=BH=OE=a,那么不難得出EH=EB+BH=OE+EB=m,又根據(jù)AO=EH,m=n,因此不存在點(diǎn)E.
(3)可根據(jù)相似三角形來(lái)得出線段之間的比例關(guān)系來(lái)求得.輔助線作法同(2),我們不難證得三角形AOE和FEH相似(根據(jù)同角的余角相等和一組直角即可得出相似),那么就能將EF=(t+1)AE轉(zhuǎn)換為FH=(t+1)OE,根據(jù)相似我們還可得出關(guān)于AO、EH、OE、FH的比例關(guān)系,那么就能得出一個(gè)關(guān)于OE、FH、m、n的關(guān)系式,將這式子進(jìn)行化簡(jiǎn),即可得出OE與m、n的關(guān)系,便能求出E的坐標(biāo)了.
解答:解:
(1)由題意得m=n時(shí),AOBC是正方形.
如圖,在OA上取點(diǎn)G,使AG=BE,
∵正方形OACB,OA=OB,
∴OG=OE.
∴∠EGO=∠GEO=
(180°-90°)=45°,從而∠AGE=90°+45°=135°.
由BF是外角平分線,得∠EBF=135°,
∴∠AGE=∠EBF.
∵∠AEF=90°,
∴∠FEB+∠AEO=90°.
在Rt△AEO中,∵∠EAO+∠AEO=90°,
∴∠EAO=∠FEB,
在△AGE和△EBF中
∵
∴△AGE≌△EBF,
EF=AE.
(2)假設(shè)存在點(diǎn)E,使EF=AE.設(shè)E(a,0).作FH⊥x軸于H,如圖.
由(1)知∠EAO=∠FEH,于是Rt△AOE≌Rt△EHF.
∴FH=OE,EH=OA.
∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為a,即FH=a.
由BF是外角平分線,知∠FBH=45°,
∴BH=FH=a.
又由C(m,n)有OB=m,
∴BE=OB-OE=m-a,
∴EH=m-a+a=m.
又EH=OA=n,
∴m=n,這與已知m≠n相矛盾.
因此在邊OB上不存在點(diǎn)E,使EF=AE成立.
(3)如(2)圖,設(shè)E(a,0),F(xiàn)H=h,則EH=OH-OE=h+m-a.
由∠AEF=90°,∠EAO=∠FEH,得△AOE∽△EHF,
∴EF=(t+1)AE等價(jià)于FH=(t+1)OE,即h=(t+1)a,
且
,即
,
整理得nh=ah+am-a
2,
∴h=
.
把h=(t+1)a代入得
=(t+1)a,
即m-a=(t+1)(n-a).
而m=tn,因此tn-a=(t+1)(n-a).
化簡(jiǎn)得ta=n,解得a=
.
∵t>1,
∴
<n<m,
故E在OB邊上.
∴當(dāng)E在OB邊上且離原點(diǎn)距離為
處時(shí)滿足條件,此時(shí)E(
,0).
點(diǎn)評(píng):本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定或相似三角形得出線段相等或成比例.