Question

已知ABCD四點共圓，AB與DC相交于點E，AD與BC交于F，∠E的平分線EX與∠F的平分線FX交于X，M、N分別是AC與BD的中點，求證：（1）FX⊥EX；（2）FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．

Answer 1

分析：（1）在△FDC中，由三角形的外角性質知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四邊形ABCD內接于圓，則∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，聯(lián)立①②，即可證得∠AFB+∠AED+2∠FAE=180°，而FX、EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線，等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可連接AX，此時發(fā)現∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可證得∠FXE是直角，即FX⊥EX；
（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲證∠MFX=∠NFX，必須先證得∠AFM=∠BFN，可通過相似三角形來實現；首先連接FM、FN，易證得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通過等量代換，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可證得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，進一步可證得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可證得EX是∠MEN的角平分線．

解答：證明：（1）連接AX；
由圖知：∠FDC是△ACD的一個外角，
則有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①
同理，得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②
∵四邊形ABCD是圓的內接四邊形，
∴∠FDC=∠ABC；
又∵∠ABC+∠EBC=180°，即：∠FDC+∠EBC=180°；③
①+②，得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB），
由③，得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；
∵FX、EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線，
∴∠AFB=2∠AFX，∠AED=2∠AEX，代入上式得：
2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；
即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；
由三角形的外角性質知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX，
故FXE=90°，即FX⊥EX．

（2）連接MF、FN，ME、NE；
∵∠FAC=∠FBD，∠DFB=∠CFA，
∴△FCA∽△FDB，
∴

FA

FB

=

AC

BD

；
∵AC=2AM，BD=2BN，
∴

FA

FB

=

2AM

2BN

=

AM

BN

；
又∵∠FAM=∠FBN，
∴△FAM∽△FBNA，得∠AFM=∠BFN；
又∵∠AFX=∠BFX，
∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN，即∠MFX=∠NFX；
同理可證得∠NEX=∠MEX，
故FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN．

點評：此題涉及的知識點較多，有：圓內接四邊形的性質、三角形內角和定理、三角形的外角性質、角平分線的定義以及相似三角形的判定和性質等；難點在于第（2）問，能夠通過兩步相似來得到與所求相關的等角，是解答此題的關鍵．