已知ABCD四點(diǎn)共圓,AB與DC相交于點(diǎn)E,AD與BC交于F,∠E的平分線(xiàn)EX與∠F的平分線(xiàn)FX交于X,M、N分別是AC與BD的中點(diǎn),求證:(1)FX⊥EX;(2)FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN.

【答案】分析:(1)在△FDC中,由三角形的外角性質(zhì)知∠FDC=∠FAE+∠AED①,同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②;由于四邊形ABCD內(nèi)接于圓,則∠FDC=∠ABC,即∠FDC+∠EBC=180°,聯(lián)立①②,即可證得∠AFB+∠AED+∠FAE=180°,而FX、EX分別是∠AFB和∠AED的角平分線(xiàn),等量代換后可證得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°;可連接AX,此時(shí)發(fā)現(xiàn)∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和,由此可證得∠FXE是直角,即FX⊥EX;
(2)由已知易得∠AFX=∠BFX,欲證∠MFX=∠NFX,必須先證得∠AFM=∠BFN,可通過(guò)相似三角形來(lái)實(shí)現(xiàn);首先連接FM、FN,易證得△FCA∽△FDB,可得到FA:FB=AC:BD,而AC=2AM,BD=2BN,通過(guò)等量代換,可求得FA:FB=AM:BN,再加上由圓周角定理得到的∠FAM=∠FBN,即可證得△FAM∽△FBN,由此可得到∠AFM=∠BFN,進(jìn)一步可證得∠MFX=∠NFX,即FX平分∠MFN,同理可證得EX是∠MEN的角平分線(xiàn).
解答:證明:(1)連接AX;
由圖知:∠FDC是△ACD的一個(gè)外角,
則有:∠FDC=∠FAE+∠AED;①
同理,得:∠EBC=∠FAE+∠AFB;②
∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形,
∴∠FDC=∠ABC;
又∵∠ABC+∠EBC=180°,即:∠FDC+∠EBC=180°;③
①+②,得:∠FDC+∠EBC=2∠FAE+(∠AED+∠AFB),
由③,得:2∠FAE+(∠AED+∠AFB)=180°;
∵FX、EX分別是∠AFB、∠AED的角平分線(xiàn),
∴∠AFB=2∠AFX,∠AED=2∠AEX,代入上式得:
2∠FAE+2(∠AFX+∠AEX)=180°;
即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°;
由三角形的外角性質(zhì)知:∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX,
故FXE=90°,即FX⊥EX.

(2)連接MF、FN,ME、NE;
∵∠FAC=∠FBD,∠DFB=∠CFA,
∴△FCA∽△FDB,
;
∵AC=2AM,BD=2BN,
;
又∵∠FAM=∠FBN,
∴△FAM∽△FBNA,得∠AFM=∠BFN;
又∵∠AFX=∠BFX,
∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN,即∠MFX=∠NFX;
同理可證得∠NEX=∠MEX,
故FX、EX分別平分∠MFN與∠MEN.
點(diǎn)評(píng):此題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,有:圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義以及相似三角形的判定和性質(zhì)等;難點(diǎn)在于第(2)問(wèn),能夠通過(guò)兩步相似來(lái)得到與所求相關(guān)的等角,是解答此題的關(guān)鍵.
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