Question

【題目】把自然數(shù)按如圖的次序排列在直角坐標(biāo)系中，每個點(diǎn)坐標(biāo)就對應(yīng)著一個自然數(shù)，例如點(diǎn)（0，0）對應(yīng)的自然數(shù)是1，點(diǎn)（1，2）對應(yīng)的自然數(shù)是14，那么點(diǎn)（1，4）對應(yīng)的自然數(shù)是____；點(diǎn)（n，n）對應(yīng)的自然數(shù)是____.

Answer 1

【答案】60， 4n2﹣2n+1．

【解析】

觀察圖的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)是圍成多層正方形，所有奇數(shù)的平方數(shù)都在第四象限的角平分線上．依此先確定（n，n）坐標(biāo)的數(shù)，再根據(jù)圖的結(jié)構(gòu)求得坐標(biāo)（n，n）．

解：觀察圖的結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)是圍成多層正方形，從內(nèi)到外每條邊數(shù)依次+2，所有正方形內(nèi)自然數(shù)個數(shù)即（每邊自然數(shù)個數(shù)的平方數(shù)）都在第四象限的角平分線上（正方形右下角）． 其規(guī)律為（n，﹣n）表示的數(shù)為（2n+1）2，而且每條邊上有2n+1個數(shù)，

點(diǎn)（1，4）在第四層正方形邊上，該層每邊有2×4+1＝9個數(shù)，右下角（4，﹣4）表示的數(shù)是81，

所以點(diǎn)（1，4）表示的是第四層從左下角開始順時針（從81倒數(shù)）第21個數(shù)，即為81﹣8﹣8﹣5＝60，

點(diǎn)（n，﹣n）在第n層正方形邊上，該層每邊有2n+1個數(shù)，右下角（n，﹣n）表示的數(shù)是（2n+1）2，

點(diǎn)（n，n）是正方形右上角的數(shù)，是從左下角開始順時針（從（2n+1）2倒數(shù)）第6n個數(shù)，即為（2n+1）2﹣6n＝4n2﹣2n+1．

故答案為：60，4n2﹣2n+1．