Question

如圖，⊙P與y軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），與x軸相交于點(diǎn)A（5，0），過(guò)點(diǎn)A的直線AB與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，與⊙P交于點(diǎn)C．
（1）已知AC=3，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若AC=a，D是OB的中點(diǎn)．問(wèn)：點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)是否在同一圓上？請(qǐng)說(shuō)明理由．如果這四點(diǎn)在同一圓上，記這個(gè)圓的圓心為O₁，函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)O₁，求k的值（用含a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

解：（1）解法一：連接OC，
∵OA是⊙P的直徑，
∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，，
在Rt△AOC和Rt△ABO中，
∵∠CAO=∠OAB
∴Rt△AOC∽R(shí)t△ABO，
∴，即，
∴，
∴

解法二：連接OC，因?yàn)镺A是⊙P的直徑，
∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，
∴OC=4，
過(guò)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，則：，
即：，
∴，
∴，
∴，
設(shè)經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線解析式為：y=kx+b．
把點(diǎn)A（5，0）、代入上式得：，
解得：，
∴，
∴點(diǎn)．

（2）點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，理由如下：
連接CP、CD、DP，
∵OC⊥AB，D為OB上的中點(diǎn)，
∴，
∴∠3=∠4，
又∵OP=CP，
∴∠1=∠2，
∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴PC⊥CD，又∵DO⊥OP，
∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，
∴PD上的中點(diǎn)到點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)的距離相等，
∴點(diǎn)O、P、C、D在以DP為直徑的同一個(gè)圓上；
由上可知，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、P、C、D的圓心O₁是DP的中點(diǎn)，圓心，
由（1）知：Rt△AOC∽R(shí)t△ABO，
∴，
求得：AB=，在Rt△ABO中，，
OD=，
∴，點(diǎn)O₁在函數(shù)的圖象上，
∴，
∴．
分析：（1）此題有兩種解法：
解法一：連接OC，根據(jù)OA是⊙P的直徑，可得OC⊥AB，利用勾股定理求得OC，再求證Rt△AOC∽R(shí)t△ABO，利用其對(duì)應(yīng)變成比例求得OB即可；
解法二：連接OC，根據(jù)OA是⊙P的直徑，可得∠ACO=90°，利用勾股定理求得OC，過(guò)C作CE⊥OA于點(diǎn)E，分別求得CE、0E，設(shè)經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線解析式為：y=kx+b．
把點(diǎn)A（5，0）、代入上式解得即可．
（2）連接CP、CD、DP，根據(jù)OC⊥AB，D為OB上的中點(diǎn)，可得，求證Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD為斜邊的直角三角形，可得PD上的中點(diǎn)到點(diǎn)O、P、C、D四點(diǎn)的距離相等，由上可知，經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、P、C、D的圓心O₁是DP的中點(diǎn)，圓心，由（1）知：Rt△AOC∽R(shí)t△ABO，可得，求得：AB、OD即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)關(guān)系式，直角三角形斜邊上的中線，勾股定理，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合性較強(qiáng)，有一定的拔高難度，屬于難題．