Question

在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-

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x+1的圖象分別與x軸、y軸交于點A、B．
（1）求點A、B的坐標(biāo)；
（2）以AB為一邊在第一象限內(nèi)作等邊△ABC，并作出△ABC的外接圓⊙M（尺規(guī)作圖，不用寫作法，但要保留作圖痕跡）；
（3）若⊙M與x軸的另一個交點為點D，求點C，D及圓心M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）令x、y分別等于0，求出一次函數(shù)y=-

3

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x+1與x軸、y軸的交點即點A、B的坐標(biāo)；
（2）先以AB的長度為邊長，畫出等邊△ABC，然后以等邊△ABC任意兩邊的垂直平分線的交點為圓點，圓心到任一頂點為半徑，作圓，即為△ABC的外接圓⊙M；
（3）先求出AB的長，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出C點坐標(biāo)，連接BM，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出M點坐標(biāo)，再根據(jù)△ADN∽△ABO求出D點坐標(biāo)．

解答：（1）解：由y=-

3

3

x+1，分別令x、y為0，
求得點A的坐標(biāo)為(

3

，0)，點B的坐標(biāo)為（0，1）

（2）如圖，正確作出圖形，保留作圖痕跡

（3）由（1）∴在Rt△AOB中，OA=

3

，OB=1
∴AB=2，sin∠OAB=

OB

AB

=

1

2

∴∠OAB=30°
∵△ABC是等邊三角形
∴CA=AB=2，∠CAB=60°
∴∠CAD=∠CAB+∠OAB=90°
∴點C的坐標(biāo)為(

3

，2)
連接BM，由△ABC是等邊三角形及上述所證，BM∥OA且BM=

2

3

OA
∴點M的坐標(biāo)為(

2 3

3

，1)
設(shè)直線CD交直線AB于點N，由已知，可得CD⊥AB
則△ADN∽△ABO
∴

AD

AB

=

AN

AO

∴AD=

AN

AO

•AB=

2

3

=

2 3

3

∴OD=OA-AD=

3

-

2 3

3

=

3

3

∴點D的坐標(biāo)為(

3

3

，0)

點評：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，解答要注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運用，作圖要規(guī)范，是各地中考的熱點，同學(xué)們要加強訓(xùn)練，屬于中檔題．