Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=12cm，AB=8cm，DC=10cm，若動點P從A點出發(fā)，以每秒2cm的速度沿線段AD向點D運動；動點Q從C點出發(fā)以每秒3cm的速度沿CB向B點運動，當(dāng)P點到達D點時，動點P、Q同時停止運動，設(shè)點P、Q同時出發(fā)，并運動了t秒，回答下列問題：
（1）BC=

18

cm； 
（2）當(dāng)t為多少時，四邊形PQCD成為平行四邊形？
（3）當(dāng)t為多少時，四邊形PQCD為等腰梯形？
（4）是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，請求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形．在直角△CDE中，已知DC、DE的長，根據(jù)勾股定理可以計算EC的長度，根據(jù)BC=BE+EC即可求出BC的長度；
（2）由于PD∥QC，所以當(dāng)PD=QC時，四邊形PQCD為平行四邊形，根據(jù)PD=QC列出關(guān)于t的方程，解方程即可；
（3）首先過D作DE⊥BC于E，可求得EC的長，又由當(dāng)PQ=CD時，四邊形PQCD為等腰梯形，可求得當(dāng)QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，即3t-（12-2t）=12時，四邊形PQCD為等腰梯形，解此方程即可求得答案；
（4）因為三邊中，每兩條邊都有相等的可能，所以應(yīng)考慮三種情況．結(jié)合路程=速度×?xí)r間求得其中的有關(guān)的邊，運用等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形的知識求解．

解答：解：根據(jù)題意得：PA=2t，CQ=3t，則PD=AD-PA=12-2t．
（1）如圖，過D點作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形，DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，
在直角△CDE中，∵∠CED=90°，DC=10cm，DE=8cm，
∴EC=

DC2-DE2

=6cm，
∴BC=BE+EC=18cm．
故答案為18；

（2）∵AD∥BC，即PD∥CQ，
∴當(dāng)PD=CQ時，四邊形PQCD為平行四邊形，
即12-2t=3t，
解得t=

12

5

秒，
故當(dāng)t=

12

5

秒時四邊形PQCD為平行四邊形；

（2）如圖，過D點作DE⊥BC于E，則四邊形ABED為矩形，DE=AB=8cm，AD=BE=12cm，
當(dāng)PQ=CD時，四邊形PQCD為等腰梯形．
過點P作PF⊥BC于點F，過點D作DE⊥BC于點E，則四邊形PDEF是矩形，EF=PD=12-2t，PF=DE．
在Rt△PQF和Rt△CDE中，

PQ=CD PF=DE

，
∴Rt△PQF≌Rt△CDE（HL），
∴QF=CE，
∴QC-PD=QC-EF=QF+EC=2CE，
即3t-（12-2t）=12，
解得：t=

24

5

，
即當(dāng)t=

24

5

時，四邊形PQCD為等腰梯形；

（3）△DQC是等腰三角形時，分三種情況討論：
①當(dāng)QC=DC時，即3t=10，
∴t=

10

3

；
②當(dāng)DQ=DC時，

3t

2

=6，
∴t=4；
③當(dāng)QD=QC時，3t•

6

10

=5，
∴t=

25

9

．
故存在t，使得△DQC是等腰三角形，此時t的值為

10

3

秒或4秒或

25

9

秒．

點評：此題考查了直角梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．