Question

如圖所示，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以4cm/s的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CA方向以3cm/s的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x s．
（1）當(dāng)x=

10

3

時(shí)，求

S△APQ

S△ABC

；
（2）△APQ能否與△CQB相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：（1）當(dāng)x=

10

3

時(shí)時(shí)，可求出AP，PQ，AB，AC的比例關(guān)系式，可得PQ∥BC，即可求出

S△APQ

S△ABC

．
（2）本題要分兩種情況進(jìn)行討論．已知∠A和∠C對(duì)應(yīng)相等，那么就要分成AP和CQ對(duì)應(yīng)成比例以及AP和BC對(duì)應(yīng)成比例兩種情況來(lái)求x的值．

解答：解：（1）由題意得，AP=4x，AQ=30-3x
當(dāng)x=

10

3

時(shí)

4x

20

=

30-3x

30

，即AP：AB=AQ：AC，
∴PQ∥BC，
∴

S△APQ

S△ABC

=

4

9

；
（2）假設(shè)兩三角形可以相似．
情況1：當(dāng)△APQ∽△CQB時(shí)，CQ：AP=BC：AQ，
即有

3x

4x

=

20

30-3x

，解得x=

10

9

，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=

10

9

是原分式方程的解．
此時(shí)AP=

40

9

cm，
情況2：當(dāng)△APQ∽△CBQ時(shí)，CQ：AQ=BC：AP，
即有

3x

30-3x

=

20

4x

，解得x=5，
經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原分式方程的解．
此時(shí)AP=20cm．
綜上所述，AP=

40

9

cm或AP=20cm．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)三角形相似得出線段比或面積比是解題的關(guān)鍵．