Question

在△ABC中，作DE∥BC，連BE、CD交于一點(diǎn)G，連AG延長至BC上于Q．證明：Q是BC中點(diǎn)．

Answer 1

考點(diǎn)：平行線分線段成比例

專題：證明題

分析：利用平行線分線段成比例定理的性質(zhì)以及三角形面積公式求出S_△BAG=S_△CAG，進(jìn)而得出S_△BGQ=S_△CGQ，求出即可．

解答：證明：∵△BDE與△CED有共同的底DE，且DE∥BC，
∴S_△BDE=S_△CED，
∴S_△BDE-S_△GDE=S_△CED-S_△GDE，
∴S_△BDG=S_△CEG①，
∵DE∥BC，
∴

AD

DB

=

AE

EC

，
而

S△ADG

S△BDG

=

AD

DB

，

S△AEG

S△CGE

=

AE

EC

，
∴

S△ADG

S△BDG

=

S△AEG

S△CGE

②，
由①與②得：S_△ADG=S_△AED③，
由①+③得：S_△BAG=S_△CAG④，
過C、B作直線AQ的垂線，K、H為垂足（如圖），
則S_△BAG=

1

2

×AG×BH，S_△BAG=

1

2

×AG×CK，代入④得：BH=CK，
故

1

2

GQ×BH=

1

2

GQ×KC，即S_△BGQ=S_△CGQ，
而△BGQ與△CGQ有公共頂點(diǎn)G，底BQ與CQ在同一直線上，
故BQ=QC．

點(diǎn)評：此題主要考查了平行線分線段成比例定理以及三角形面積求法，得出S_△BAG=S_△CAG是解題關(guān)鍵．