Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，⊙C的圓心坐標為（-2，-2），半徑為

2

．函數(shù)y=-x+2的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點P為AB上一動點
（1）連接CO，求證：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求點P的坐標；
（3）當直線PO與⊙C相切時，求∠POA的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）延長CO交AB于M，過C作CN⊥x軸于N，求出CN=ON，OB=OA，推出∠MOA=∠BAO=45°，求出∠OMA=90°即可；
（2）①當OA=OP時，P在B點；②當AO=AP時，設P的坐標是（x，-x+2），根據(jù)勾股定理得出方程（x-2）²+（-x+2）²=2²，求出x即可；③當OP=AP時，作OA的垂直平分線交AB于P，此時AP=OP，求出P的橫坐標x，代入y=-x+2求出y即可；
（3）設PO切⊙C于D，連接CD，求出OC，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出sin∠DOC，求出∠DOC即可．

解答：（1）解：延長CO交AB于M，過C作CN⊥x軸于N，
∵C（-2，-2），
∴CN=ON=2，
∴∠C=∠NOC=45°，
∵y=-x+2，
當x=0時，y=2，
當y=0時，x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴OA=OB=2，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵∠MOA=∠NOC=45°，
∴∠OMA=180°-45°-45°=90°，
∴CO⊥AB．

（2）解：y=-x+2，令y=0，得A（2，0），
令x=0，得B（0，2），
①當OA=OP時，P在B點，此時△POA是等腰三角形；
②當AO=AP時，過P作PH⊥OA于H，設P的坐標是（x，-x+2），
∵在△APH中，根據(jù)勾股定理得：PA²=PH²+AH²，
∵PH=-x+2，AH=2-x，
∴PA²=（-x+2）²+（2-x）²，OA²=2²，
∴（x-2）²+（-x+2）²=2²
解得：x=2±

2

，
當x=2+

2

時，-x+2=-

2

；
當x=2-

2

時，-x+2=

2

；
∴P（2+

2

，-

2

）或（2-

2

，

2

）；
③當OP=AP時，作OA的垂直平分線交AB于P，此時AP=OP，
且P的橫坐標是

1

2

×2=1，
代入y=-x+2得：y=-1+2=1，
∴P（1，1）；
綜合上述，P的坐標是（0，2）或（2+

2

，-

2

）或（2-

2

，

2

）或（1，1）．

（3）解：設PO切⊙C于D，連接CD，
則∠CDO=90°，CD=

2

，
OC=

ON2+CN2

=2

2

，
∴sin∠DOC=

CD

OC

=

2

2 2

=

1

2

，
∴∠DOC=30°，
∴∠DON=∠AOP=45°-30°=15°，
同理求出是另一條切線時，∠AOP=45°+30°=75°，
答：∠POA的度數(shù)是15°或75°．

點評：本題考查了銳角三角函數(shù)值，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征等知識點的應用，關鍵是熟練地運用性質(zhì)進行推理和計算，通過做此題培養(yǎng)了學生觀察圖形的能力，用了分類討論思想和方程思想．注意：一題多解�。�