Question

【題目】如圖，已知 中， 是 邊上的點，將 繞點 旋轉(zhuǎn)，得到 .

（1）當(dāng) ∠=45° 時，求證： .
（2）在（1）的條件下，猜想 ， ， 有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，
∵∠DAE=45°
∴∠EAD′=∠DAD′-∠DAE=90°-45°=45°，
∴∠EAD′=∠DAE， 在△AED與△AED′中 ，
∴△AED≌△AED′，
∴DE=D′E；
（2）解：BD2+CE==DE2 ．
理由如下： 由（1）知△AED≌△AED′得到：ED=ED′，∠B=∠ACD′，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵△ABD繞點A旋轉(zhuǎn)，得到△ACD′
∴BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，
∴∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=45°+45°=90°，
在Rt△CD′E中，CE2+D′C2=D′E2 ，
∴BD2+CE2=DE2
【解析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AD=AD′，∠DAD′=∠BAC=90°，再計算出∠EAD′=∠DAE=45°，再利用“SAS”可得出△AED≌△AED′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證出DE=D′E。
（2）由（1）知△AED≌△AED′得到ED=ED′，∠B=∠ACD′，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得∠B=∠ACB=45°，則根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BD=CD′，∠B=∠ACD′=45°，所以∠BCD′=∠ACB+∠ACD′=90°，于是根據(jù)勾股定理得CE2+D′C2=D′E2 ， 繼而證出BD2+CE2==DE2。