Question

有若干個(gè)邊長都為2的小正方形．若小正方形Ⅱ的一個(gè)頂點(diǎn)在小正方形I的中心O₁，如圖所示；類似地小正方形Ⅲ的一個(gè)頂點(diǎn)在小正方形Ⅱ的中心O₂，并且小正方形I與小正方形Ⅲ不相重疊，如果若干個(gè)小正方形都按這種方法拼接，問需要幾個(gè)小正方形能使拼接出的圖形的陰影部分的面積等于一個(gè)小正方形的面積，并給出你的證明過程．

Answer 1

需要5個(gè)小正方形能使拼接出的圖形的陰影部分面積等于一個(gè)小正方形的面積．理由如下：
對(duì)于正方形Ⅰ與正方形Ⅱ，
過O₁作正方形的邊AN、MN的垂線O₁F、O₁E，垂足分別為F、E，連接O₁N、O₁M．
∵O₁為正方形Ⅰ的中心，
∴O₁N=O₁M，∠O₁NC=∠O₁MD=45°，∠NO₁M=90°，
S_△NO1M=

1

4

S_正方形1，
∵∠CO₁N+∠NO₁D=∠CO₁D=90°，∠DO₁M+∠NO₁D=∠NO₁M=90°，
∴∠CO₁N=∠DO₁M．
在△NCO₁與△MDO₁中，
∵

∠O1NC=∠O1MD O1N=O1M ∠CO1N=∠DO1M

，
∴△NCO₁≌△MDO₁（ASA），
∴S△NCO1=S△MDO1，
∴S_{四邊形NCO1D}=S_△NO1M，
即正方形Ⅰ與正方形Ⅱ重合部分的陰影部分面積為正方形面積的

1

4

，
∴需要5個(gè)小正方形能使拼接出的圖形的陰影部分面積等于一個(gè)小正方形的面積．