Question

如圖，一次函數(shù)y=-x+3的圖象交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)Q，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為C，其圖象過A、Q兩點(diǎn)，并與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)B（B點(diǎn)在A點(diǎn)左側(cè)），△ABC三內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對(duì)邊為a，b，c．若關(guān)于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，且a=b；
（1）試判定△ABC的形狀；
（2）當(dāng)

AB

AQ

=

2

3

時(shí)求此拋物線的解析式；
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使S_△ABP=S_{四邊形ACBQ}？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）可將題中給出的方程進(jìn)行整理，已知了方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，那么方程的△=0，然后聯(lián)立a=b，即可判斷出三角形ABC的形狀．
（2）可先根據(jù)直線AQ的解析式求出A、Q的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出線段AQ的長(zhǎng)，根據(jù)AB、AQ的比例關(guān)系式，可求出AB的長(zhǎng)，即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)已知的A、B、Q的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．
（3）可先求出四邊形ACBQ的面積，然后根據(jù)三角形ABP和四邊形ACBQ面積相等，即可得出三角形ABP的面積，AB長(zhǎng)為定值，可求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，將其代入拋物線的解析式中，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）方程整理得（c-a）x²+2bx+（c+a）=0；
由方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
得△=0
即

c2=a2+b2 a=b

即△ABC為等腰直角三角形．

（2）在y=-x+3中，令x=0，則y=3；令y=0，則x=3；
∴A（3，0），Q（0，3）；
設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為（x，0）；
∴AB=3-x
在Rt△AOQ中，AQ=

32+32

=3

2

，
∵

AB

AQ

=

2

3

，
∴

3-x

3 2

=

2

3

，
解之得：x=1，
∴B（1，0），
∵拋物線過A、B、Q三點(diǎn)，則有：

9a+3b+c=0 a+b+c=0 c=3

，
解得

a=1 b=-4 c=3

∴拋物線的解析式為y=x²-4x+3．

（3）假設(shè)拋物線上有點(diǎn)P，坐標(biāo)為（x，y）；
∴S_△ABP=

1

2

×AB×|y|=|y|；
S_{四邊形ACBQ}=S_△ABC+S_△ABQ
=

1

2

×2×1+

1

2

×2×3=4
由S_△ABP=S_{四邊形ACBQ}，得|y|=4；
∴y=±4；
當(dāng)y=4時(shí)，x²-4x+3=4；解得x=2+

5

，x=2-

5

；
當(dāng)y=-4時(shí)，x²-4x+3=-4，△＜0，方程無解．
∴拋物線上存在點(diǎn)P的，其坐標(biāo)為（2+

5

，4）或（2-

5

，4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的判定、二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法等知識(shí)．