如圖,點是半圓的半徑上的動點,作于.點是半圓上位于左側(cè)的點,連結(jié)交線段于,且.
(1) 求證:是⊙O的切線.
(2) 若⊙O的半徑為,,設(shè).
①求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.
②當(dāng)時,求的值.
(1)證明見解析;(2)①y=x2+144(0≤x≤4),②.
解析試題分析:(1)要證PD是⊙O的切線只要證明∠PDO=90°即可;
(2)①分別用含有x,y的式子,表示OP2和PD2這樣便可得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;
②已知x的值,則可以根據(jù)關(guān)系式求得PD的值,已PC的值且PD=PE,從而可得到EC,BE的值,這樣便可求得tanB的值.
試題解析:(1)證明:連接OD.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB.
∵PD=PE,
∴∠PDE=∠PED.
∠PDO=∠PDE+∠ODE
=∠PED+∠OBD
=∠BEC+∠OBD
=90°,
∴PD⊥OD.
∴PD是⊙O的切線.
(2)①連接OP.
在Rt△POC中,
OP2=OC2+PC2=x2+192.
在Rt△PDO中,
PD2=OP2-OD2=x2+144.
∴y=x2+144(0≤x≤4).
②當(dāng)x=時,y=147,
∴PD=7,
∴EC=,
∵CB=3,
∴在Rt△ECB中,tanB=.
考點: 1.二次函數(shù)綜合題;2.切線的判定;3.解直角三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖①,在□ABCD中,對角線AC⊥AB,BC=10,tan∠B=2.點E是BC邊上的動點,過點E作EF⊥BC于點E,交折線AB-AD于點F,以EF為邊在其右側(cè)作正方形EFGH,使EH邊落在射線BC上.點E從點B出發(fā),以每秒1個單位的速度在BC邊上運動,當(dāng)點E與點C重合時,點E停止運動,設(shè)點E的運動時間為t()秒.
(1)□ABCD的面積為 ;當(dāng)t= 秒時,點F與點A重合;
(2)點E在運動過程中,連接正方形EFGH的對角線EG,得△EHG,設(shè)△EHG與△ABC的重疊部分面積為S,請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式以及對應(yīng)的自變量t的取值范圍;
(3)作點B關(guān)于點A的對稱點Bˊ,連接CBˊ交AD邊于點M(如圖②),當(dāng)點F在AD邊上時,EF與對角線AC交于點N,連接MN得△MNC.是否存在時間t,使△MNC為等腰三角形?若存在,請求出使△MNC為等腰三角形的時間t;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖(1),直線與x軸交于點A、與y軸交于點D,以AD為腰,以x軸為底作等腰梯形ABCD(AB>CD),且等腰梯形的面積是8,拋物線經(jīng)過等腰梯形的四個頂點.
圖(1)
(1) 求拋物線的解析式;
(2) 如圖(2)若點P為BC上的—個動點(與B、C不重合),以P為圓心,BP長為半徑作圓,與軸的另一個交點為E,作EF⊥AD,垂足為F,請判斷EF與⊙P的位置關(guān)系,并給以證明;
圖(2)
(3) 在(2)的條件下,是否存在點P,使⊙P與y軸相切,如果存在,請求出點P的坐標(biāo);如果不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,某種新型導(dǎo)彈從地面發(fā)射點L處發(fā)射,在初始豎直加速飛行階段,導(dǎo)彈上升的高度y(km)與飛行時間x(s)之間的關(guān)系式為y=x2+x(0≤x≤10).發(fā)射3 s后,導(dǎo)彈到達(dá)A點,此時位于與L同一水面的R處雷達(dá)站測得AR的距離是2 km,再過3 s后,導(dǎo)彈到達(dá)B點.
(1)求發(fā)射點L與雷達(dá)站R之間的距離;
(2)當(dāng)導(dǎo)彈到達(dá)B點時,求雷達(dá)站測得的仰角(即∠BRL)的正切值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6cm,BC=8cm.點D、E、F分別是邊AB,BC,AC的中點,連接DE,DF,動點P,Q分別從點A、B同時出發(fā),運動速度均為1cm/s,點P沿AFD的方向運動到點D停止;點Q沿BC的方向運動,當(dāng)點P停止運動時,點Q也停止運動.在運動過程中,過點Q作BC的垂線交AB于點M,以點P,M,Q為頂點作平行四邊形PMQN.設(shè)平行四邊形邊形PMQN與矩形FDEC重疊部分的面積為y(cm2)(這里規(guī)定線段是面積為0有幾何圖形),點P運動的時間為x(s)
(1)當(dāng)點P運動到點F時,CQ= cm;
(2)在點P從點F運動到點D的過程中,某一時刻,點P落在MQ上,求此時BQ的長度;
(3)當(dāng)點P在線段FD上運動時,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知直線y=-2x+4與x軸、y軸分別相交于A、C兩點,拋物線y=-2x2+bx+c (a≠0)經(jīng)過點A、C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的頂點為P,在拋物線上存在點Q,使△ABQ的面積等于△APC面積的4倍.求出點Q的坐標(biāo);
(3)點M是直線y=-2x+4上的動點,過點M作ME垂直x軸于點E,在y軸(原點除外)上是否存在點F,使△MEF為等腰直角三角形? 若存在,求出點F的坐標(biāo)及對應(yīng)的點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,直角坐標(biāo)系中Rt△ABO,其頂點為A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0),將此三角板繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°,得到Rt△A′B′O.
(1)一拋物線經(jīng)過點A′、B′、B,求該拋物線的解析式;
(2)設(shè)點P是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動點,是否存在點P,使四邊形PB′A′B的面積是△A′B′O面積4倍?若存在,請求出P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)在(2)的條件下,試指出四邊形PB′A′B是哪種形狀的四邊形?并寫出四邊形PB′A′B的兩條性質(zhì).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,矩形OABC過原點O,且A(0,2)、C(6,0),∠AOC的平分線交AB于點D.
(1)直接寫出點B的坐標(biāo);
(2)如圖,點P從點O出發(fā),以每秒個單位長度的速度沿射線OD方向移動;同時點Q從點O出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿軸正方向移動.設(shè)移動時間為秒.
①當(dāng)t為何值時,△OPQ的面積等于1;
②當(dāng)t為何值時,△PQB為直角三角形;
(3)已知過O、P、Q三點的拋物線解析式為y=-(x-t)2+t(t>0).問是否存在某一時刻t,將△PQB繞某點旋轉(zhuǎn)180°后,三個對應(yīng)頂點恰好都落在上述拋物線上?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由.
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