Question

（2013•上海）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC交AC于點(diǎn)E，CF∥AB交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：DE=EF；
（2）連結(jié)CD，過(guò)點(diǎn)D作DC的垂線交CF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求證：∠B=∠A+∠DGC．

Answer 1

分析：（1）首先證明四邊形DBCF為平行四邊形，可得DF=BC，再證明DE=

1

2

BC，進(jìn)而得到EF=

1

2

CB，即可證出DE=EF；
（2）首先畫(huà)出圖形，首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADG=∠G，再證明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=∠DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠1可得∠A+∠G=∠B．

解答：證明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四邊形DBCF為平行四邊形，
∴DF=BC，
∵D為邊AB的中點(diǎn)，DE∥BC，
∴DE=

1

2

BC，
∴EF=DF-DE=BC-

1

2

CB=

1

2

CB，
∴DE=EF；

（2）∵DB∥CF，
∴∠ADG=∠G，
∵∠ACB=90°，D為邊AB的中點(diǎn)，
∴CD=DB=AD，
∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，
∵DG⊥DC，
∴∠DCA+∠1=90°，
∵∠DCB+∠DCA=90°，
∴∠1=∠DCB=∠B，
∵∠A+∠ADG=∠1，
∴∠A+∠G=∠B．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是找出∠ADG=∠G，∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．