Question

如圖，已知拋物線y=-x²+2x+1-m與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，3），頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連接CD，拋物線的對稱軸與x軸相交于點(diǎn)E．
（1）求m的值；
（2）求∠CDE的度數(shù)；
（3）在拋物線對稱軸的右側(cè)部分上是否存在一點(diǎn)P，使得△PDC是等腰三角形？如果存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線過點(diǎn)C（0，3）
∴1-m=3
∴m=-2

（2）由（1）可知該拋物線的解析式為y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4
∴此拋物線的對稱軸x=1
拋物線的頂點(diǎn)D（1，4）
過點(diǎn)C作CF⊥DE，則CF∥OE
∴F（1，3）
所以CF=1，DF=4-3=1
∴CF=DF
又∵CF⊥DE
∴∠DFC=90°
∴∠CDE=45°

（3）存在．
①延長CF交拋物線于點(diǎn)P₁，則CP₁∥X軸，所以P₁正好是C點(diǎn)關(guān)于DE的對稱點(diǎn)時(shí)，
有DC=DP₁，得出P₁點(diǎn)坐標(biāo)（2，3）；
由y=-x²+2x+3得，D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），對稱軸為x=1．
②若以CD為底邊，則PD=PC，
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，
得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）²，
即y=4-x．
又P點(diǎn)（x，y）在拋物線上，
∴4-x=-x²+2x+3，
即x²-3x+1=0，
解得：x=，＜1，應(yīng)舍去；
∴x=，
∴y=4-x=
則P₂點(diǎn)坐標(biāo)（，）．
∴符合條件的點(diǎn)P坐標(biāo)為（，）和（2，3）．
分析：（1）由于拋物線的解析式中只有一個(gè)未知數(shù)m，因此只需將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出m的值．
（2）此題可首先表示出拋物線的頂點(diǎn)式，就可以求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后過C點(diǎn)作DE的垂線CF，在△DCF中根據(jù)C、D、F三點(diǎn)的坐標(biāo)求出DF和CF長度相等，得出∠CDE的度數(shù)；
（3）利用二次函數(shù)的對稱性可求出，以及利用線段垂直平分線的性質(zhì)求出P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的對稱性，以及等腰三角形的判定方法和垂直平分線的性質(zhì)等知識，題目綜合性較強(qiáng)，是中考中熱點(diǎn)題型．