(8分)如圖,在△ABC中,∠ABC=45º,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分別為D、E,F(xiàn)為BC中點,BE與DF、DC分別交于點G、H,∠ABE=∠CBE。

(1)線段BH與AC相等嗎?若相等給予證明,若不相等請說明理由;

(2)求證:

(1)BH=AC,(2)證明見解析.

【解析】

試題分析:(1)由CD⊥AB知∠BDC=∠BEC,因為∠ABC=45º,所以∠ABC=∠BCD ,故CD=BD 又因BE⊥AC所以∠ACD,∠ABE都是∠A的余角故相等,因此可證△DBH≌△DCA所以BH=AC

(2) 連接GC,根據(jù)“等腰三角形三線合一”的性質(zhì):由BE⊥AC,∠ABE=∠CBE可得AE=CE

BF=FC,BD=CD得BG=CG因為GC2-GE2=CE2.所以BG2-GE2=EA2

試題解析:(1)BH=AC

證明:∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90º, ∠ABC=45º,

∴∠BCD=45º=∠ABC,

∴DB=DC.

又∵∠BHD=∠CHE

∴∠DBH=∠DCA

∴△DBH≌△DCA

∴BH=AC.

(2)證明:連接GC,∴GC2-GE2=CE2.

∵F為BC的中點,DB=DC

∴DF垂直平分BC,

∴BG=GC,∴BG2-GE2=EC2

∵∠ABE=∠CBE ∴EC=EA

∴BG2-GE2=EA2

考點:“ASA”判定三角形全等 ,三線合一,勾股定理.

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