Question

已知等腰三角形的兩邊分別為3和6．
（1）求這個三角形的周長；
（2）若（1）中等腰三角形的頂角的外角平分線所在的直線與底角的外角平分線所在的直線交于P點(diǎn)，探索銳角∠P與原等腰三角形頂角的關(guān)系．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況：當(dāng)3為底時和3為腰時，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：兩邊之和大于第三邊去掉一種情況即可，
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)求得∠ABC=∠PAB，從而得出AP∥CB，同理PF∥AC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出答案．

解答：解：（1）當(dāng)3為底時，三角形的三邊長為3，6，6，則周長為15，
當(dāng)3為腰時，三角形的三邊長為3，3，6，則不能組成三角形，
故周長為15，

（2）相等，
∠BAC+2∠ABC=180°，
∠DBF=∠PBA=

1

2

（180°-∠ABC），
∠PAB=

1

2

（180°-∠BAC），
（2）∠P=90°-

1

2

∠A，
∵AB=AC，AP為∠EAB的角平分線，
∴∠B=∠C，∠EAP=∠PAB，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∠EAP+∠PAB+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C=∠EAP+∠PAB，
∴∠B=∠PAB，
∴AP∥CB，
同理PF∥AC，
∴四邊形APBC為平行四邊形，
∴∠P=∠C=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A．

點(diǎn)評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系定理以及平行四邊形的性質(zhì)，難度適中．