Question

如圖，點P是正方形ABCD對角線BD上一點，作PE⊥DC于E，PF⊥BC于F．
（1）求證：AP=EF；
（2）若正方形ABCD的邊長為4cm，當BP=3cm時，求AP的長度．

Answer 1

（1）證明：連接PC，
∵ABCD是正方形，
∴∠C=90°，
∵PE⊥CD，PF⊥BC，
∴PFCE是矩形，
∴EF=PC，
在△ABP和△CBP中
AB=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP，
∴△ABP≌△CBP，
∴AP=CP，
∵EF=CP，
∴AP=EF．

（2）解：∵ABCD是正方形，
∴∠PBF=45°，
∴△PFB是等腰直角三角形，
∵BP=3cm，
∴BF=PF=3cm，
∵正方形ABCD的邊長是4cm，
∴FC=1cm，
∴PC==（cm），
∴AP=cm，
答：AP的長是cm．
分析：（1）連接CP，證矩形EPFC，求出EF=PC，證△ABP≌△CBP，推出AP=CP即可；
（2）證△PFB是等腰直角三角形，求出BF、PF，求出FC，根據(jù)勾股定理求出PC即可．
點評：本題主要考查對勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定，正方形的性質(zhì)等知識點的連接和掌握，能證出AP=PC是解此題的關(guān)鍵．