【題目】如圖,已知點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.
(1)求拋物線解析式;
(2)在直線BC上方的拋物線上求一點(diǎn)P,使△PBC面積為1;
(3)在x軸下方且在拋物線對(duì)稱軸上,是否存在一點(diǎn)Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】(1)拋物線的解析式為y=﹣x2+x+1;(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,)或(2,1);(3)存在,理由見解析.
【解析】
(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣3),將C(0,1)代入求得a的值即可;
(2)過點(diǎn)P作PD⊥x,交BC與點(diǎn)D,先求得直線BC的解析式為y=﹣x+1,設(shè)點(diǎn)P(x,﹣x2+x+1),則D(x,﹣ x+1),然后可得到PD與x之間的關(guān)系式,接下來,依據(jù)△PBC的面積為1列方程求解即可;
(3)首先依據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)C的坐標(biāo)可得到∠BQC=∠BAC=45°,設(shè)△ABC外接圓圓心為M,則∠CMB=90°,設(shè)⊙M的半徑為x,則Rt△CMB中,依據(jù)勾股定理可求得⊙M的半徑,然后依據(jù)外心的性質(zhì)可得到點(diǎn)M為直線y=﹣x與x=1的交點(diǎn),從而可求得點(diǎn)M的坐標(biāo),然后由點(diǎn)M的坐標(biāo)以及⊙M的半徑可得到點(diǎn)Q的坐標(biāo).
(1)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+1)(x﹣3),將C(0,1)代入得﹣3a=1,解得:a=﹣,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+1;
(2)過點(diǎn)P作PD⊥x,交BC與點(diǎn)D,
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,則,解得:k=﹣,
∴直線BC的解析式為y=﹣x+1,
設(shè)點(diǎn)P(x,﹣ x2+x+1),則D(x,﹣ x+1),
∴PD=(﹣x2+x+1)﹣(﹣x+1)=﹣x2+x,
∴S△PBC=OBDP=×3×(﹣x2+x)=﹣x2+x,
又∵S△PBC=1,
∴﹣x2+x=1,整理得:x2﹣3x+2=0,解得:x=1或x=2,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,)或(2,1);
(3)存在.
∵A(﹣1,0),C(0,1),
∴OC=OA=1,
∴∠BAC=45°,
∵∠BQC=∠BAC=45°,
∴點(diǎn)Q為△ABC外接圓與拋物線對(duì)稱軸在x軸下方的交點(diǎn),
設(shè)△ABC外接圓圓心為M,則∠CMB=90°,
設(shè)⊙M的半徑為x,則Rt△CMB中,由勾股定理可知CM2+BM2=BC2,即2x2=10,
解得:x=(負(fù)值已舍去),
∵AC的垂直平分線的為直線y=﹣x,AB的垂直平分線為直線x=1,
∴點(diǎn)M為直線y=﹣x與x=1的交點(diǎn),即M(1,﹣1),
∴Q的坐標(biāo)為(1,﹣1﹣).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2011山東濟(jì)南,27,9分)如圖,矩形OABC中,點(diǎn)O為原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(6,0).拋物線經(jīng)過A、C兩點(diǎn),與AB邊交于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)C重合),點(diǎn)Q為線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),AQ=CP,連接PQ,設(shè)CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式,并求出m為何值時(shí),S取得最大值;
②當(dāng)S最大時(shí),在拋物線的對(duì)稱軸l上若存在點(diǎn)F,使△FDQ為直角三角形,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017四川省達(dá)州市,第16題,3分)如圖,矩形ABCD中,E是BC上一點(diǎn),連接AE,將矩形沿AE翻折,使點(diǎn)B落在CD邊F處,連接AF,在AF上取點(diǎn)O,以O為圓心,OF長(zhǎng)為半徑作⊙O與AD相切于點(diǎn)P.若AB=6,BC=,則下列結(jié)論:①F是CD的中點(diǎn);②⊙O的半徑是2;③AE=CE;④.其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)問題背景
如圖①,BC是⊙O的直徑,點(diǎn)A在⊙O上,AB=AC,P為上一動(dòng)點(diǎn)(不與B,C重合),
求證:PA=PB+PC.
請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程.
(2)類比遷移
如圖②,⊙O的半徑為3,點(diǎn)A,B在⊙O上,C為⊙O內(nèi)一點(diǎn),AB=AC,AB⊥AC,垂足為A,求OC的最小值.
(3)拓展延伸
如圖,⊙O的半徑為3,點(diǎn)A,B在⊙O上,C為⊙O內(nèi)一點(diǎn),AB=AC,AB⊥AC,垂足為A,則OC的最小值為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果拋物線y=ax2+bx+c過定點(diǎn)M(1,0),則稱此拋物線為定點(diǎn)拋物線.
(1)張老師在投影屏幕上出示了一個(gè)題目:請(qǐng)你寫出一條定點(diǎn)拋物線的解析式.小敏寫出了一個(gè)正確的答案:y=2x2+3x-5.請(qǐng)你寫出一個(gè)不同于小敏的答案;
(2)張老師又在投影屏幕上出示了一個(gè)思考題:已知定點(diǎn)拋物線y=-x2+2bx+c,求該拋物線的頂點(diǎn)最低時(shí)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(11·漳州)(滿分8分)漳州市某中學(xué)對(duì)全校學(xué)生進(jìn)行文明禮儀知識(shí)測(cè)試,為了解測(cè)試結(jié)果,隨機(jī)抽取部分學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行分析,將成績(jī)分為三個(gè)等級(jí):不合格、一般、優(yōu)秀,并繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖(不完整).請(qǐng)你根據(jù)圖中所給的信息解答下列問題:
(1)請(qǐng)將以上兩幅統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)若“一般”和“優(yōu)秀”均被視為達(dá)標(biāo)成績(jī),則該校被抽取的學(xué)生中有_ ▲ 人達(dá)標(biāo);
(3)若該校學(xué)生有1200人,請(qǐng)你估計(jì)此次測(cè)試中,全校達(dá)標(biāo)的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,格點(diǎn)三角形(頂點(diǎn)是網(wǎng)格線的交點(diǎn)的三角形)ABC的頂點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(﹣4,5),(﹣1,3).
(1)請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格平面內(nèi)作出平面直角坐標(biāo)系;并寫出B點(diǎn)坐標(biāo);
(2)請(qǐng)作出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的△A'B'C';
(3)請(qǐng)作出將△ABC向下平移的3個(gè)單位,再向右平移5個(gè)單位后的△A1B1C1;則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為_____;點(diǎn)B1的坐標(biāo)為______,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將拋物線c1: 沿x軸翻折,得到拋物線c2,如圖1所示.
(1)請(qǐng)直接寫出拋物線c2的表達(dá)式;
(2)現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個(gè)單位長(zhǎng)度,平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為M,與x軸的交點(diǎn)從左到右依次為A、B;將拋物線c2向右也平移m個(gè)單位長(zhǎng)度,平移后得到新拋物線的頂點(diǎn)為N,與軸的交點(diǎn)從左到右依次為D、E.
①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點(diǎn)時(shí),求m的值;
②在平移過程中,是否存在以點(diǎn)A、N、E、M為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的情形?若存在,請(qǐng)求出此時(shí)m的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小迪同學(xué)在學(xué)勾股定理時(shí)發(fā)現(xiàn)一類特殊三角形:在一個(gè)三角形中,如果一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍,那么稱這個(gè)三角形為“倍角三角形”.
如圖1,在倍角中,,、、的對(duì)邊分別記為,,,三角形的三邊,,有什么關(guān)系呢?讓我們一起來探索……
(1)已知“倍角三角形”的一個(gè)內(nèi)角為,則這個(gè)三角形的另兩個(gè)角的度數(shù)分別為______
(2)小迪同學(xué)先從特殊的“倍角三角形”入手研究,請(qǐng)你結(jié)合圖2和圖3填寫下表:
三角形 | 角的已知量 | ||
圖2 | ______ | ______ | |
圖3 | ______ |
小迪同學(xué)根據(jù)上表,提出一般性猜想:在“倍角三角形”中,,那么,,三邊滿足:______;
(3)如圖1:在倍角三角形中,,、、的對(duì)邊分別記為,,,求證:.
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