Question

已知關于x的方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有兩個實數(shù)根x₁，x₂．
（1）求實數(shù)k的取值范圍；
（2）若

x1

x2

+

x2

x1

=1成立，求k的值．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數(shù)的關系

專題：

分析：（1）根據(jù)判別式的意義可得△=（2k+1）²-4（k²+2k）≥0，解不等式即可求出實數(shù)k的取值范圍；
（2）利用根與系數(shù)的關系將兩根之和和兩根之積代入代數(shù)式求k的值即可．

解答： 解：（1）∵關于x的方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有兩個實數(shù)根x₁，x₂，
∴△=（2k+1）²-4（k²+2k）≥0，
解得k≤

1

4

；

（2）由根與系數(shù)關系知：x₁+x₂=2k+1，x₁x₂=k²+2k，
∵

x1

x2

+

x2

x1

=1，
∴

(2k+1)2-2(k2+2k)

k2+2k

=1，
解得k=1，
經(jīng)檢驗k=1是方程的根，但是不能使原方程有實數(shù)根，
故所求k的值不存在．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關系．