Question

如圖，已知拋物線y=ax²-2ax-b（a＞0）與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為B（-1，0），與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．
（1）直接寫出拋物線的對(duì)稱軸，及拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）以AD為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．
①求拋物線的解析式；
②點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱軸上，點(diǎn)F在拋物線上，且以B，A，F(xiàn)，E四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）對(duì)稱軸是直線：x=1，
點(diǎn)A的坐標(biāo)是（3，0）；

（2）①如圖，連接AC、AD，過(guò)D作DM⊥y軸于點(diǎn)M，
解法一：利用△AOC∽△CMD，
在y=ax²-2ax-b（a＞0）中，當(dāng)x=1時(shí)，y=-a-b，則D的坐標(biāo)是（1，-a-b）．
∵點(diǎn)A、D、C的坐標(biāo)分別是A（3，0），D（1，-a-b）、
C（0，-b），
∴AO=3，MD=1．
由

AO

CM

=

OC

MD

，
得

3

a

=

b

1

，
∴3-ab=0．（3分）
又∵0=a•（-1）²-2a•（-1）-b，（4分）
∴由

3-ab=0 3a-b=0

，
得

a=1 b=3

，（5分）
∴函數(shù)解析式為：y=x²-2x-3．（6分）
解法二：利用以AD為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，
∵點(diǎn)A、D的坐標(biāo)分別是A（3，0）、D（1，-a-b）、C（0，-b），
∴AC=

9+b2

，CD=

1+a2

，AD=

4+(-a-b)2

∵AC²+CD²=AD²
∴3-ab=0①（3分）
又∵0=a•（-1）²-2a•（-1）-b②（4分）
由①、②得a=1，b=3（5分）
∴函數(shù)解析式為：y=x²-2x-3．（6分）

②F點(diǎn)存在．

如圖所示，當(dāng)四邊形BAFE為平行四邊形時(shí)
則BA∥EF，并且BA=EF．
∵BA=4，
∴EF=4
由于對(duì)稱軸為x=1，
∴點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為5．（7分）
將x=5代入y=x²-2x-3得y=12，∴F（5，12）．（8分）
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知，在對(duì)稱軸的左側(cè)拋物線上也存在點(diǎn)F，
使得四邊形BAEF是平行四邊形，此時(shí)點(diǎn)F坐標(biāo)為（-3，12）．（9分）
當(dāng)四邊形BEAF是平行四邊形時(shí)，點(diǎn)F即為點(diǎn)D，
此時(shí)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，-4）．（10分）
綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5，12），（-3，12）或（1，-4）．