Question

【題目】如圖，MN∥OP，點A為直線MN上一定點，B為直線OP上的動點，在直線MN與OP之間且在線段AB的右方作點D，使得AD⊥BD．設(shè)∠DAB＝α(α為銳角)．

(1)求∠NAD與∠PBD的和；(提示過點D作EF∥MN)

(2)當(dāng)點B在直線OP上運動時，試說明∠OBD﹣∠NAD＝90°；

(3)當(dāng)點B在直線OP上運動的過程中，若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，請求出此時α的值

Answer 1

【答案】(1)∠NAD+∠PBD＝90°；(2)∠OBD﹣∠NAD＝90°；(3)α＝30°．

【解析】

（1）過點D作EF∥MN，則∠NAD=∠ADE，EF∥OP，依據(jù)平行線的性質(zhì)可得到∠PBD=∠BDE，則∠NAD+∠PBD=∠ADB，最后，依據(jù)垂線的定義求解即可；

（2）由（1）得∠NAD=90°-∠PBD，然后結(jié)合∠OBD+∠PBD=180°，進行證明即可；

（3）先求得∠OBD的度數(shù)（用含α的式子表示），然后再利用（2）中的結(jié)論列方程求解即可．

(1)如圖，過點D作EF∥MN，則∠NAD＝∠ADE．

∵MN∥OP，EF∥MN，

∴EF∥OP．

∴∠PBD＝∠BDE，

∴∠NAD+∠PBD＝∠ADE+∠BDE＝∠ADB．

∵AD⊥BD，

∴∠ADB＝90°，

∴∠NAD+∠PBD＝90°．

(2)由(1)得：∠NAD+∠PBD＝90°，則∠NAD＝90°﹣∠PBD．

∵∠OBD+∠PBD＝180°，

∴∠OBD＝180°﹣∠PBD，

∴∠OBD﹣∠NAD＝(180°﹣∠PBD)﹣(90°﹣∠PBD)＝90°．

(3)若AD平分∠NAB，AB也恰好平分∠OBD，則有∠NAD＝∠BAD＝α，∠NAB＝2∠BAD＝2α，∠OBD＝2∠OBA．

∵OP∥MN，

∴∠OBA＝∠NAB＝2α，

∴∠OBD＝4α．

由(2)知：∠OBD﹣∠NAD＝90°，則4α﹣α＝90°，解得：α＝30°．