【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx-3與軸交于,兩點(點在點左側),A(-1,0),B(3,0),直線與拋物線交于,兩點,其中點的橫坐標為。
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)是線段上的一個動點,過點作軸的平行線交拋物線于點,求線段長度的最大值;
(3)點是拋物線上的動點,在軸上是否存在點,使,,,這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出所有滿足條件的點坐標;如果不存在,請說明理由。
【答案】(1)y=x2﹣2x﹣3;(2);(3)存在4個符合條件的F點,分別為F(﹣3,0),(1,0),(4+,0),(4﹣,0).
【解析】
(1)將A、B的坐標代入拋物線中,易求出拋物線的解析式;
(2)將C點橫坐標代入拋物線的解析式中,即可求出C點的坐標.由待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式.PE的長實際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差,可設P點的橫坐標為x,用x分別表示出P、E的縱坐標,即可得到關于PE的長、x的函數(shù)關系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得PE的最大值;
(3)此題要分兩種情況:①以AC為邊,②以AC為對角線.確定平行四邊形后,可直接利用平行四邊形的性質(zhì)求出F點的坐標.
(1)將A(﹣1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3,得:a=1,b=﹣2,∴y=x2﹣2x﹣3.
(2)將C點的橫坐標x=2代入y=x2﹣2x﹣3,得:y=﹣3,∴C(2,﹣3),∴直線AC的函數(shù)解析式是y=﹣x﹣1.
設P點的橫坐標為x(﹣1≤x≤2),則P、E的坐標分別為:P(x,﹣x﹣1),E(x,x2﹣2x﹣3).
∵P點在E點的上方,∴PE=(﹣x﹣1)﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+x+2,∴當x=時,PE的最大值=.
(3)存在.討論如下:
①如圖,連接C與拋物線和y軸的交點.
∵C(2,﹣3),G(0,﹣3),∴CG∥x軸,此時AF=CG=2,∴F點的坐標是(﹣3,0);
②如圖,AF=CG=2,A點的坐標為(﹣1,0),因此F點的坐標為(1,0);
③如圖,設F(x,0).
∵ACFG是平行四邊形,∴AF的中點與CG的中點重合.
∵AF的中點的縱坐標為0,∴C,G兩點的縱坐標互為相反數(shù),∴G點的縱坐標為3,∴x2﹣2x﹣3=3,解得:x=1±,∴G點的坐標為(1±,3),∴AF的中點的橫坐標=CG的中點的橫坐標,∴ ,解得:x=,∴F的坐標為(,0).
綜上所述:存在4個符合條件的F點,分別為F(﹣3,0),(1,0),(4+,0),(4﹣,0).
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=x+3的圖象分別與y軸,x軸交于點A,B,點P從點B出發(fā),沿射線BA以每秒1個單位的速度運動,設點P的運動時間為t秒.
(1)點P在運動過程中,若某一時刻,△OPA的面積為3,求此時P的坐標;
(2)在整個運動過程中,當t為何值時,△AOP為等腰三角形?請直接寫出t的值.
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【題目】如圖,中,,,點為邊上的動點(不與、重合),
,交于點.
(1)與的大小關系為________.請證明你的結論;
(2)設,,求關于的函數(shù)關系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)當是等腰三角形時,求的長;
(4)是否存在,使的面積是面積的倍?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,四邊形 是菱形,B=6,且∠ABC=60° ,M是菱形內(nèi)任一點,連接AM,BM,CM,則AM+BM+CM 的最小值為________。
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【題目】某超市銷售一種飲料,平均每天可售出100箱,每箱利潤120元.為了擴大銷售,增加利潤,超市準備適當降價.據(jù)測算,若每箱降價1元,每天可多售出2箱.
(1)如果要使每天銷售飲料獲利14000元,問每箱應降價多少元?
(2)每箱降價多少元超市每天獲利最大?最大利潤是多少?
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【題目】若一個矩形的短邊與長邊的比值為(黃金分割數(shù)),我們把這樣的矩形叫做黃金矩形.
操作:請你在如圖所示的黃金矩形中,以短邊為一邊作正方形;
探究:在中的四邊形是不是黃金矩形?若是,請予以證明;若不是,請說明理由.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=,BC=6cm,AC=10cm。
(1)求AB的長;
(2)若P點從點B出發(fā),以2cm/s的速度在BC所在的直線上運動,設運動時間為t秒,那么當t為何值時,△ACP為等腰三角形。
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【題目】銳銳參加我市電視臺組織的“牡丹杯”智力競答節(jié)目,答對最后兩道單選題就順利通關,第一道單選題有3個選項,第二道單選題有4個選項,這兩道題銳銳都不會,不過銳銳還有兩個“求助”可以用(使用“求助”一次可以讓主持人去掉其中一題的一個錯誤選項).
(1)如果銳銳兩次“求助”都在第一道題中使用,那么銳銳通關的概率是________;
(2)如果銳銳兩次“求助”都在第二道題中使用,那么銳銳通關的概率是________;
(3)如果銳銳每道題各用一次“求助”,請用樹狀圖或者列表來分析他順利通關的概率.
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【題目】小明和小亮計劃暑期結伴參加志愿者活動.小明想?yún)⒓泳蠢戏⻊栈顒樱×料雲(yún)⒓游拿鞫Y儀宣傳活動.他們想通過做游戲來決定參加哪個活動,于是小明設計了一個游戲,游戲規(guī)則是:在三張完全相同的卡片上分別標記4、5、6三個數(shù)字,一人先從三張卡片中隨機抽出一張,記下數(shù)字后放回,另一人再從中隨機抽出一張,記下數(shù)字,若抽出的兩張卡片標記的數(shù)字之和為偶數(shù),則按照小明的想法參加敬老服務活動,若抽出的兩張卡片標記的數(shù)字之和為奇數(shù),則按照小亮的想法參加文明禮儀宣傳活動.你認為這個游戲公平嗎?請說明理由.
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