Question

已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB＞CE．
（1）如圖1，連接BG、DE．求證：BG=DE；
（2）如圖2，如果正方形ABCD的邊長為

2

，將正方形CEFG繞著點C旋轉(zhuǎn)到某一位置時恰好使得CG∥BD，BG=BD．
①求∠BDE的度數(shù)；
②請直接寫出正方形CEFG的邊長的值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得出BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，再證明△BCG≌△DCE就可以得出結(jié)論；
（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得出∠DCG=∠BDC=45°，可以得出∠BCG=∠BCE，可以得出△BCG≌△BCE，得出BG=BE得出△BDE為正三角形就可以得出結(jié)論；
②延長EC交BD于點H，通過證明△BCE≌△BCG就可以得出∠BEC=∠DEC，就可以得出EH⊥BD，BH=

1

2

BD，由勾股定理就可以求出EH的值，從而求出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD和CEFG為正方形，
∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°．
∴∠BCD+∠DCG=∠GCE+∠DCG，
∴∠BCG=∠DCE．
在△BCG和△DCE中，

BC=DC ∠BCG=∠DCE CG=CE

，
∴△BCG≌△DCE（SAS）．
∴BG=DE；

（2）解：①連接BE．
由（1）可知：BG=DE．
∵CG∥BD，
∴∠DCG=∠BDC=45°．
∴∠BCG=∠BCD+∠GCD=90°+45°=135°．
∵∠GCE=90°，
∴∠BCE=360°-∠BCG-∠GCE=360°-135°-90°=135°．
∴∠BCG=∠BCE．
∵BC=BC，CG=CE，
在△BCG和△BCE中，

BC=BC ∠BCG=∠BCE GC=EC

，
∴△BCG≌△BCE（SAS）．
∴BG=BE．
∵BG=BD=DE，
∴BD=BE=DE．
∴△BDE為等邊三角形．
∴∠BDE=60°．
②延長EC交BD于點H，
在△BCE和△BCG中，

DE=BE DC=BC CE=CE

，
∴△BCE≌△BCG（SSS），
∴∠BEC=∠DEC，
∴EH⊥BD，BH=

1

2

BD．
∵BC=CD=

2

，在Rt△BCD中由勾股定理，得
∴BD=

BC2+CD2

=

( 2 )2+( 2 )2

=2．
∴BH=1．
∴CH=1．
在Rt△BHE中，由勾股定理，得
EH=

3

，
∴CE=

3

-1．
∴正方形CEFG的邊長為

3

-1．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定與性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的判定與性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．