Question

將一副三角板如圖拼接：含30°角的三角板（△ABC）的長(zhǎng)直角邊與含45°角的三角板（△ACD）的斜邊恰好重合．已知AB=2

3

，P是AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DP．
（1）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠ABC的平分線上時(shí)，求DP的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中出現(xiàn)PD=BC時(shí)，求此時(shí)∠PDA的度數(shù)．

Answer 1

（1）在Rt△ABC中，AB=2

3

，∠BAC=30°
∴BC=

3

，AC=3．
如圖（1），作DF⊥AC
∵Rt△ACD中，AD=CD
∴DF=AF=CF=

3

2

，
∵BP平分∠ABC
∴∠PBC=30°
∴CP=BC•tan30°=1
∴PF=

1

2

∴DP=

PF2+DF2

=

10

2

．

（2）當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（2）所示時(shí)，
根據(jù)（1）中結(jié)論，DF=

3

2

，∠ADF=45°
又PD=BC=

3

∴cos∠PDF=

DF

PD

=

3

2

∴∠PDF=30°
∴∠PDA=∠ADF-∠PDF=15°
當(dāng)P點(diǎn)位置如圖（3）所示時(shí)，
同（2）可得∠PDF=30°．
∴∠PDA=∠ADF+∠PDF=75°．