Question

15、有12位同學圍成一圈，其中有些同學手中持有鮮花，鮮花總數(shù)為13束，他們進行分花游戲，每次分花按如下規(guī)則進行：其中一位手中至少持有兩束鮮花的同學拿出兩束鮮花分給與其相鄰的左右兩位同學，每人一束．試證：在持續(xù)進行這種分花游戲的過程中，一定會出現(xiàn)至少有7位同學手中持有鮮花的情況．

Answer 1

分析：運用反證法，假設開始時手中持有鮮花的同學不足7位，這樣存在兩種情況，在分花游戲過程中，任何相鄰的兩位同學其中一位手中持有鮮花和任何一位同學不可能手中始終無花，進行討論，得出矛盾，從而得出假設不成立，原命題正確．

解答：證明：不妨假設開始時手中持有鮮花的同學不足7位．我們以A1、A2、A3、…A12按逆時針方向依次分別標記這12位同學．
（1）在分花游戲過程中，任何相鄰的兩位同學一旦其中一位手中持有鮮花，那么，在此后的每次分花之后，他們兩人中始終至少有一人手中持有鮮花．事實上，每次分花，如果分花的同學不是這兩位同學中的一位，那么，他們倆手中的鮮花只會增加，不會減少．如果他們倆中的一位是分花者，那么，分花后另一位同學一定持有鮮花．
（2）任何一位同學不可能手中始終無花，可用反證法證明這一點．不妨假設A1手中始終無花，這意味著A2始終沒作為分花者，A2手中鮮花只能增加，不會減少．因總共只有13束鮮花，所以經(jīng)過有限次分花之后，A2不再接受鮮花．這又意味著經(jīng)過有限次分花之后，A3不再為分花者．同理可知，再經(jīng)過有限次分花后，A4不再為分花者．依此類推，經(jīng)有限次分花之后，全部12位同學無一人為分花者，活動終止．這就與13束鮮花分置于12位同學手中，無論何種情況總能找到與可能分花的同學的事實相矛盾．
由（1）、（2）可知，經(jīng)若干次分花之后，可使任何相鄰的兩位同學中至少有一位同學手中有花，因此至少有6位同學手中有花．若僅有6位同學手中有花，則手中有花的同學不可能相鄰，否則就會有兩位手中無花的同學相鄰．因此，只要再進行一次分花，至少增加一位手中持花的同學，即至少有7位同學手中持有鮮花．

點評：此題主要考查了反證法證明問題的方法，此題綜合性較強，從兩點分析任何相鄰的兩位同學其中一位手中持有鮮花和任何一位同學不可能手中始終無花，進行分析是解決問題的關鍵．