Question

有12位同學(xué)圍成一圈，其中有些同學(xué)手中持有鮮花，鮮花總數(shù)為13束，他們進(jìn)行分花游戲，每次分花按如下規(guī)則進(jìn)行：其中一位手中至少持有兩束鮮花的同學(xué)拿出兩束鮮花分給與其相鄰的左右兩位同學(xué)，每人一束．試證：在持續(xù)進(jìn)行這種分花游戲的過(guò)程中，一定會(huì)出現(xiàn)至少有7位同學(xué)手中持有鮮花的情況．

Answer 1

【答案】分析：運(yùn)用反證法，假設(shè)開(kāi)始時(shí)手中持有鮮花的同學(xué)不足7位，這樣存在兩種情況，在分花游戲過(guò)程中，任何相鄰的兩位同學(xué)其中一位手中持有鮮花和任何一位同學(xué)不可能手中始終無(wú)花，進(jìn)行討論，得出矛盾，從而得出假設(shè)不成立，原命題正確．
解答：證明：不妨假設(shè)開(kāi)始時(shí)手中持有鮮花的同學(xué)不足7位．我們以A1、A2、A3、…A12按逆時(shí)針?lè)较蛞来畏謩e標(biāo)記這12位同學(xué)．
（1）在分花游戲過(guò)程中，任何相鄰的兩位同學(xué)一旦其中一位手中持有鮮花，那么，在此后的每次分花之后，他們兩人中始終至少有一人手中持有鮮花．事實(shí)上，每次分花，如果分花的同學(xué)不是這兩位同學(xué)中的一位，那么，他們倆手中的鮮花只會(huì)增加，不會(huì)減少．如果他們倆中的一位是分花者，那么，分花后另一位同學(xué)一定持有鮮花．
（2）任何一位同學(xué)不可能手中始終無(wú)花，可用反證法證明這一點(diǎn)．不妨假設(shè)A1手中始終無(wú)花，這意味著A2始終沒(méi)作為分花者，A2手中鮮花只能增加，不會(huì)減少．因總共只有13束鮮花，所以經(jīng)過(guò)有限次分花之后，A2不再接受鮮花．這又意味著經(jīng)過(guò)有限次分花之后，A3不再為分花者．同理可知，再經(jīng)過(guò)有限次分花后，A4不再為分花者．依此類推，經(jīng)有限次分花之后，全部12位同學(xué)無(wú)一人為分花者，活動(dòng)終止．這就與13束鮮花分置于12位同學(xué)手中，無(wú)論何種情況總能找到與可能分花的同學(xué)的事實(shí)相矛盾．
由（1）、（2）可知，經(jīng)若干次分花之后，可使任何相鄰的兩位同學(xué)中至少有一位同學(xué)手中有花，因此至少有6位同學(xué)手中有花．若僅有6位同學(xué)手中有花，則手中有花的同學(xué)不可能相鄰，否則就會(huì)有兩位手中無(wú)花的同學(xué)相鄰．因此，只要再進(jìn)行一次分花，至少增加一位手中持花的同學(xué)，即至少有7位同學(xué)手中持有鮮花．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反證法證明問(wèn)題的方法，此題綜合性較強(qiáng)，從兩點(diǎn)分析任何相鄰的兩位同學(xué)其中一位手中持有鮮花和任何一位同學(xué)不可能手中始終無(wú)花，進(jìn)行分析是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．