Question

（2013•安徽）某大學(xué)生利用暑假40天社會(huì)實(shí)踐參與了一家網(wǎng)店的經(jīng)營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在x天銷售的相關(guān)信息如表所示．

銷售量p（件）	p=50-x
銷售單價(jià)q（元/件）	當(dāng)1≤x≤20時(shí)，q=30+ 1 2 x 當(dāng)21≤x≤40時(shí)，q=20+ 525 x

（1）請(qǐng)計(jì)算第幾天該商品的銷售單價(jià)為35元/件？
（2）求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大？最大的利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）在每個(gè)x的取值范圍內(nèi)，令q=35，分別解出x的值即可；
（2）利用利潤=售價(jià)-成本，分別求出在1≤x≤20和21≤x≤40時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)1≤x≤20時(shí)，y=-

1

2

x²+15x+500=-

1

2

（x-15）²+612.5，求出一個(gè)最大值y₁，當(dāng)21≤x≤40時(shí)，求出一個(gè)最大值y₂，然后比較兩者的大�。�

解答：解：（1）當(dāng)1≤x≤20時(shí)，令30+

1

2

x=35，得x=10，
當(dāng)21≤x≤40時(shí)，令20+

525

x

=35，得x=35，經(jīng)檢驗(yàn)得x=35是原方程的解且符合題意
即第10天或者第35天該商品的銷售單價(jià)為35元/件．

（2）當(dāng)1≤x≤20時(shí)，y=（30+

1

2

x-20）（50-x）=-

1

2

x²+15x+500，
當(dāng)21≤x≤40時(shí)，y=（20+

525

x

-20）（50-x）=

26250

x

-525，
即y=

- 1 2 x2+15x+500(1≤x≤20) 26250 x -525(21≤x≤40)

，

（3）當(dāng)1≤x≤20時(shí)，y=-

1

2

x²+15x+500=-

1

2

（x-15）²+612.5，
∵-

1

2

＜0，
∴當(dāng)x=15時(shí)，y有最大值y₁，且y₁=612.5，
當(dāng)21≤x≤40時(shí)，∵26250＞0，
∴

26250

x

隨x的增大而減小，
當(dāng)x=21時(shí)，

26250

x

最大，
于是，x=21時(shí)，y=

26250

x

-525有最大值y₂，且y₂=

26250

21

-525=725，
∵y₁＜y₂，
∴這40天中第21天時(shí)該網(wǎng)站獲得利潤最大，最大利潤為725元．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)以及最值得求法，此題難度不大．