Question

【題目】如圖①，E在AB上，、都為等腰直角三角形，，連接DB，以DE、DB為邊作平行四邊形DBFE，連接FC、DC．

（1）求證：；；

（2）將圖①中繞A點順時針旋轉，其它條件不變，如圖②，（1）中的結論是否成立？說明理由．

（3）將圖①中的繞A點順時針旋轉，，其它條件不變，當四邊形DBFE為矩形時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）結論成立，見解析；（3）或

【解析】

（1）先由△ACB、△ADE都為等腰直角三角形得出AD=DE，AC=BC，再由四邊形DBFE是平行四邊形得DE=BF，再證明∠CAD=∠CBF，即可證明△CAD≌△CBF，進而解決問題；

（2）延長DE交BC于M，只要證明△CAD≌△CBF即可解決問題；

（3）分兩種情形畫出圖形即可解決問題.

（1）證明：如圖①中，

∵△ACB、△ADE都為等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，

∴AD=DE，AC=BC，

∴∠AED=∠DAE=∠ABC=45°，

∵四邊形DBFE是平行四邊形，

∴DE=BF，DE∥BF，

∴AD=BF，∠FBE=∠DEB=180°-45°=135°，

∴∠FBC=135°-45°=90°，

∵∠CAD=∠CAB+∠DAE=45°+45°=90°，

∴∠CAD=∠CBF，

∴△CAD≌△CBF，

∴CD=CF，∠ACD=∠BCF，

∵∠ACD+∠BCD=90°

∴∠FCB+∠BCD=90°

∴∠DCF=∠ACB=90°，

∴CD⊥CF，CD=CF．

（2）結論成立．

理由：如圖②中，延長DE交BC于M．

∵△ACB、△ADE都為等腰直角三角形，∠ADE=∠ACB=90°，

∴AD=DE，AC=BC，

∴∠AED=∠DAE=∠ABC=45°，

∵四邊形DBFE是平行四邊形，

∴DE=BF，DE∥BF，

∴∠FBC=∠DMB，

∵∠DAC+∠CMD=360°-90°-90°=180°，∠DMB+∠CMD=180°，

∴∠DAC=∠DMB，

∴∠FBC=∠CAD，

∴△CAD≌△CBF，

∴CD=CF，∠ACD=∠BCF，

∴∠DCF=∠ACB=90°，

∴CD⊥CF，CD=CF．

（3）如圖③中，當旋轉角α=45°時，四邊形BDEF是矩形；

如圖④中，當旋轉角α=225°時，四邊形BDEF是矩形；

綜上所述，α為45°或225°時，四邊形EFBD是矩形．