Question

已知：如圖，△ABC，△CDE都是等腰直角三角形，其中∠ACB=∠DCE=90°，AE、BD交與點(diǎn)O
（1）求證：AE=BD；
（2）判斷直線AE、BD的位置關(guān)系并證明．

Answer 1

（1）證明：∵△ABC，△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠ECD=∠ACB=90°，CD=CE，CA=CB，
∴∠ECD+∠DCA=∠DCA+∠ACB，即∠ACE=∠DCB，
∵在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD；

（2）解：直線AE、BD的位置關(guān)系為AE⊥BD．理由如下：如圖，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠AEC=∠CDB，
∵∠1=∠2，
∴∠DOE=∠ECD=90°，
∴AE⊥BD．
分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ECD=∠ACB=90°，CD=CE，CA=CB，則有∠ACE=∠DCB，根據(jù)“SAS”可判斷△ACE≌△BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AE=BD；
（2）由△ACE≌△BCD得到∠AEC=∠CDB，而∠1=∠2，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得到∠DOE=∠ECD=90°，則有AE⊥BD．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：有兩組邊對(duì)應(yīng)相等，且它們所夾的角相等，那么這兩個(gè)三角形全等；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．