【題目】在菱形ABCD中,E是對角線AC上的一個(gè)動點(diǎn),連結(jié)BE并延長交直線AD于點(diǎn)F.
(1)若AB=10,sin∠BAC=;
①求對角線AC的長;
②若BE=4,求AE的長;
(2)若點(diǎn)F在邊AD上,且=k,△BEC和四邊形ECDF的面積分別是S1和S2,求的最大值.
【答案】(1)①AC=12;②AE′=8;(2)的最大值為.
【解析】
(1)①連接BD,根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AO=OC,AC⊥BD,根據(jù)正弦的定義、勾股定理計(jì)算,得到答案;
②分點(diǎn)F在邊AD上、點(diǎn)F在邊AD的延長線上兩種情況,根據(jù)勾股定理計(jì)算;
(2)連接DE,證明△BCE≌△DCE,設(shè)△BCE的面積為S,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出S△AEF、S△EFD,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.
解:(1)①如圖1,連接BD,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴AO=OC,AC⊥BD,
在Rr△AOB中,sin∠BAC=,即,
解得,OB=8,
由勾股定理得,AO==6,
則AC=2OA=12;
②當(dāng)點(diǎn)F在邊AD上時(shí),OE==4,
則AE=OA﹣OE=2,
當(dāng)點(diǎn)F′在邊AD的延長線上時(shí),AE′=OA+OE′=8;
(2)如圖2,連接DE,
∵四邊形ABCD是菱形,
∴CB=CD,∠ACB=∠ACD,
在△BCE和△DCE中,
,
∴△BCE≌△DCE(SAS)
設(shè)△BCE的面積為S,則△DCE的面積為S,
∵AF∥BC,
∴△AEF∽△CEB,
∴=k2,即S△AEF=k2S,
∵=k,
∴,
∴,
解得,S△EFD=kS﹣k2S,
==﹣k2+k+1=﹣(k﹣)2+,
當(dāng)k=時(shí),的最大值為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃修建一條長18千米的鄉(xiāng)村公路,已知甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)每天多修路0.6千米,乙工程隊(duì)單獨(dú)完成修路任務(wù)所需天數(shù)是甲工程隊(duì)單獨(dú)完成修路任務(wù)所需天數(shù)的1.5倍.
(1)求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天各修路多少千米?
(2)若甲工程隊(duì)每天的修路費(fèi)用為0.6萬元,乙工程隊(duì)每天的修路費(fèi)用為0.5萬元,要使兩個(gè)工程隊(duì)修路總費(fèi)用不超過6.3萬元,甲工程隊(duì)至少修路多少天?
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【題目】某挖掘機(jī)的底座高AB=0.8米,動臂BC=1.2米,CD=1.5米,BC與CD的固定夾角∠BCD=140°.初始位置如圖1,斗桿頂點(diǎn)D與鏟斗頂點(diǎn)E所在直線DE垂直地面AM于點(diǎn)E,測得∠CDE=70°(示意圖2).工作時(shí)如圖3,動臂BC會繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動,當(dāng)點(diǎn)A,B,C在同一直線時(shí),斗桿頂點(diǎn)D升至最高點(diǎn)(示意圖4).
(1)求挖掘機(jī)在初始位置時(shí)動臂BC與AB的夾角∠ABC的度數(shù).
(2)問斗桿頂點(diǎn)D的最高點(diǎn)比初始位置高了多少米(精確到0.1米)?
(考數(shù)據(jù):sin50°≈0.77,cos50°≈0.64,sin70°≈0.94,cos70°≈0.34,)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一艘輪船航行到 B 處時(shí),測得小島 A 在船的北偏東 60°的方向,輪船從 B 處繼續(xù)向正東方向航行 20 海里到達(dá) C 處時(shí),測得小島 A 在北船的北偏東 30°的方向.
(1)若小島 A 到這艘輪船航行路線 BC 的距離是 AD,求 AD 的長.
(2)已知在小島周圍 17 海里內(nèi)有暗礁,若輪船不改變航向繼續(xù)向前行駛,試問輪船有無觸礁的危險(xiǎn)?(≈1.732)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D在邊AB上,DE∥BC,與邊AC交于點(diǎn)E,將△ADE沿著DE所在的直線對折,得到△FDE,連結(jié)BF.記△ADE,△BDF的面積分別為S1,S2,若BD>2AD,則下列說法錯(cuò)誤的是( )
A. 2S2>3S1B. 2S2>5S1C. 3S2>7S1D. 3S2>8S1
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,E是長方形ABCD的邊AB上的點(diǎn),EF⊥DE交BC于點(diǎn)F
(1)求證:△ADE∽△BEF;
(2)設(shè)H是ED上一點(diǎn),以EH為直徑作⊙O,DF與⊙O相切于點(diǎn)G,若DH=OH=3,求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后面第一位,≈1.73,π≈3.14).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,以正五邊形的頂點(diǎn)為圓心,為半徑作圓弧交的延長線于點(diǎn),再以點(diǎn)為圓心,為半徑作圓弧交的延長線于,依次進(jìn)行……得到螺旋線,再順次連結(jié),,,,,得到5塊陰影區(qū)域,若記它們的面積分別為,,,,,且滿足,則的值為( )
A. B. C. D.
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【題目】某數(shù)學(xué)社團(tuán)成員想利用所學(xué)的知識測量某廣告牌的寬度圖中線段MN的長,直線MN垂直于地面,垂足為點(diǎn)在地面A處測得點(diǎn)M的仰角為、點(diǎn)N的仰角為,在B處測得點(diǎn)M的仰角為,米,且A、B、P三點(diǎn)在一直線上請根據(jù)以上數(shù)據(jù)求廣告牌的寬MN的長.
參考數(shù)據(jù):,,,,,
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【題目】2018年某新品牌牛奶公司為了宣傳其公司牛奶的銷售量大,把該品牌牛奶的銷售量與其他品牌牛奶的銷售量對比繪制了如圖K-28-3所示的廣告,并形象地用牛奶瓶代替條形圖,從銷售量來看,新品牌牛奶的銷售量是其他品牌牛奶的2倍.請分析這個(gè)圖合理嗎.
答:________,理由是______________________________.
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