Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸上，點B在第一象限，∠OBA=90°，AB=4，OB=3，點M是線段OB上的動點，（不與O，B重合），過點M作MN∥OA交AB于點N，以BM，BN為一組鄰邊作矩形BMDN，設BM=t．
（1）求點B的坐標；
（2）在圖（2）中，當t為何值時，點D落在x軸上，并求此時直線BD的表達式；
（3）動點M在運動過程中，記△MND與△OAB重疊部分的面積為S，試求S關于t的函數(shù)表達式，并寫出t的取值范圍．

Answer 1

解：
（1）過B作BE⊥OA于E，
在三角形OBE中，sin∠BOE==，cos∠BOE==，OB=3，
∴OE=，BE=；即B（，）．

（2）當D落在x軸上時，M為OB的中點，因此OM=MB=，即t=1.5．
∵DM⊥OB，AB⊥OB，∴DM∥AB，
∵OM=BM，∴OD=AD，因此D（，0），又由（1）知：B（，），
∴直線BD的解析式為y=-x+．

（3）當0＜t≤1.5時，S=t²；
當1.5＜t＜3時，s=-2t²+8t-6．
分析：（1）可過B作x軸的垂線，設垂足為E，在直角三角形OBE中，用∠BOE的三角函數(shù)值即可求出B點的坐標．
（2）當D落在x軸上時，M為OB的中點，D為OA的中點（根據(jù)中位線定理可得出），因此OM=BM=3，即t=1.5；OD=AD=，即D（，0）．進而可用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式．
（3）本題要分兩種情況：
①當D點在三角形OAB內(nèi)部時，重合部分是三角形MND，由于三角形BMN的面積和三角形MND的面積相同，因此可通過求三角形BMN的面積來得出S，t的函數(shù)關系式．
而當D在三角形OAB外部時，即當1.5＜t＜3時，如果設DM，DN與x軸的交點為G、H的話，那么重合部分的面積可用三角形BMN的面積減去三角形DGH的面積來求得．據(jù)此可得出S，t的函數(shù)關系式．
點評：本題考查了直角三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、圖形的翻折變換、二次函數(shù)的應用等知識．
綜合性強，考查學生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法．