Question

【題目】如圖，一次函數(shù)的圖象與，軸分別交于，兩點，點與點關于軸對稱.動點，分別在線段，上（點與點，不重合），且滿足.

（1）求點，的坐標及線段的長度；

（2）當點在什么位置時，，說明理由；

（3）當為等腰三角形時，求點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）10；（2）當點的坐標是時，；（3）點的坐標是或.

【解析】

（1）利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征可求出點，的坐標，結合點與點關于軸對稱可得出點的坐標，進而可得出線段的長度；

（2）當點的坐標是時，，由點，的坐標可得出的長度，由勾股定理可求出的長度，進而可得出，通過角的計算及對稱的性質可得出，，結合可證出，由此可得出：當點的坐標是時，；

（3）分，及三種情況考慮：①當時，由（2）的結論結合全等三角形的性質可得出當點的坐標是時；②當時，利用等腰三角形的性質結合可得出，利用三角形外角的性質可得出，進而可得出此種情況不存在；③當時，利用等腰三角形的性質結合可得出，設此時的坐標是，在中利用勾股定理可得出關于的一元一次方程，解之即可得出結論.綜上，此題得解.

解：（1）當時，，

點的坐標為；

當時，，解得：，

點的坐標為；

點與點關于軸對稱，

點的坐標為，

.

（2）當點的坐標是時，，理由如下：

點的坐標為，點的坐標為，

，

.

，，，

.

和關于軸對稱，

.

在和中，

.

當點的坐標是時，.

（3）分為三種情況：

①當時，如圖1所示，由（2）知，當點的坐標是時，

，

此時點的坐標是；

②當時，則，

，

.

而根據(jù)三角形的外角性質得：，

此種情況不存在；

③當時，則，

，如圖2所示.

設此時的坐標是，

在中，由勾股定理得：

，

，

解得：，

此時的坐標是.

綜上所述：當為等腰三角形時，點的坐標是或.