Question

【題目】如圖，拋物線y=nx2﹣3nx﹣4n（n＜0）與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），且拋物線與y軸交于點(diǎn)A．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為　 　，點(diǎn)C的坐標(biāo)為　 　；

（2）若∠BAC=90°，求拋物線的解析式．

（3）點(diǎn)M是（2）中拋物線上的動點(diǎn)，點(diǎn)N是其對稱軸上的動點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)M、N，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1，0），（4，0）；（2）y=﹣x2+x+2；（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為：（﹣，﹣）或（，﹣）或（，）．

【解析】

（1）利用x軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)即可得出結(jié)論；
（2）判斷出△AOB∽△COA，建立方程求出OA，進(jìn)而得出點(diǎn)A坐標(biāo)，最后用待定系數(shù)法即可的結(jié)論；
（3）設(shè)出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，分三種情況，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求解即可得出結(jié)論．

（1）令y=0，

∴nx2-3nx-4n=0，

∵n＜0，

∴x2-2x-4=0,

∴x=-1或x=4,

∴B(-1,0),C(4,0)；

（2）∵∠BAC=90°，AO⊥BC，

易證△AOB～△COA，

∴，，

∴OA=2，

故A（0，2），

則設(shè)拋物線的解析式為：y=a(x-x1)( x-x2),

把A（0，2）、B（-1，0）、C（4，0）代入上式得，-4a=2，

∴，

∴，

∴對稱軸直線為，

∴設(shè)N（，b），M（m，），

以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

∴①當(dāng)AC為對角線時，，

∴.

∴M（，）.

②當(dāng)AM為對角線時，，

∴.

∴M（，-）.

③當(dāng)AN為對角線時，，

∴.

∴M（，-）.

即：拋物線上存在這樣的點(diǎn)M，點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為：M（，）或（，-）或（，-）.