Question

【題目】在中， 為中點(diǎn)， 、與射線(xiàn)分別相交于點(diǎn)、（射線(xiàn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)）.

（1）如圖①，當(dāng)BE∥CF時(shí)，連接ED并延長(zhǎng)交CF于點(diǎn)H. 求證：四邊形BECH是平行四形；

（2）如圖②，當(dāng)BE⊥AE于點(diǎn)E，CF⊥AE于點(diǎn)F時(shí)，分別取AB、AC的中點(diǎn)M、N，連接ME、MD、NF、ND. 求證：AM=AN

（3）如圖②，當(dāng)BE⊥AE于點(diǎn)E，CF⊥AE于點(diǎn)F時(shí)，分別取AB、AC的中點(diǎn)M、N，連接ME、MD、NF、ND. 求證：∠EMD=∠FND.

圖① 圖②

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)兩直線(xiàn)平行內(nèi)錯(cuò)角相等求得∠DBE=∠DCH，然后依據(jù)AAS求得△BDE≌△CDH得出ED=HD，最后根據(jù)有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求得．

（2）連接FD、ED，延長(zhǎng)ED交CF于點(diǎn)H，根據(jù)直角三角形斜邊的中線(xiàn)定理和三角形的中位線(xiàn)定理求得ME=DN，MD=NF，從而證得AM=AN；

（3）在（2）的條件下根據(jù)SSS即可證明△MED≌△NDF，最后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等求得∠EMD=∠FND．

試題解析：

(1)如圖①，

∵D為BC的中點(diǎn)，

∴BD=CD，

∵BE∥CF，

∴∠DBE=∠DCH，

在△BDE與△CDH中，

，

∴△BDE≌△CDH(AAS)，

∴ED=HD，

∴四邊形BECH是平行四邊形；

(2)如圖②連接FD、ED，延長(zhǎng)ED交CF于點(diǎn)H，

∵BE⊥AE，CF⊥AE，

∴BE∥CF，

由(1)可知△BDE≌△CDH，

∴DE=DH，

∴在Rt△EHF中，FD=DE=DH.

∵M為AB的中點(diǎn)，

∴在Rt△AEB中，ME=BM=AM，

同理，在Rt△ACF中，FN=AN=CN.

∵M、N、D分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，

∴

(3)由上可知ME=DN，MD=NF，

在△MED與△NDF中，

，

∴△MED≌△NDF(SSS)，

∴∠EMD=∠FND.