【題目】如圖1,已知ABC是等腰直角三角形,BAC=90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn).作正方形DEFG,使點(diǎn)A、C分別在DG和DE上,連接AE,BG.

(1)試猜想線段BG和AE的數(shù)量關(guān)系是 ;

(2)將正方形DEFG繞點(diǎn)D逆時針方向旋轉(zhuǎn)α(0°α360°),

①判斷(1)中的結(jié)論是否仍然成立?請利用圖2證明你的結(jié)論;

②若BC=DE=4,當(dāng)AE取最大值時,求AF的值.

【答案】(1)BG=AE;(2)見解析;②AF=2

【解析】

試題分析:(1)由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論;

(2)①如圖2,連接AD,由等腰直角三角形的性質(zhì)及正方形的性質(zhì)就可以得出ADE≌△BDG就可以得出結(jié)論;

②由①可知BG=AE,當(dāng)BG取得最大值時,AE取得最大值,由勾股定理就可以得出結(jié)論.

解:(1)BG=AE.

理由:如圖1,∵△ABC是等腰直角三角形,BAC=90°,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),

ADBC,BD=CD,

∴∠ADB=ADC=90°.

四邊形DEFG是正方形,

DE=DG.

BDG和ADE中,

,

∴△ADE≌△BDG(SAS),

BG=AE.

故答案為:BG=AE;

(2)①成立BG=AE.

理由:如圖2,連接AD,

在RtBAC中,D為斜邊BC中點(diǎn),

AD=BD,ADBC,

∴∠ADG+GDB=90°.

四邊形EFGD為正方形,

DE=DG,且GDE=90°,

∴∠ADG+ADE=90°,

∴∠BDG=ADE.

BDG和ADE中,

∴△BDG≌△ADE(SAS),

BG=AE;

BG=AE,

當(dāng)BG取得最大值時,AE取得最大值.

如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為270°時,BG=AE.

BC=DE=4,

BG=2+4=6.

AE=6.

在RtAEF中,由勾股定理,得

AF==

AF=2

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(3)如圖②,當(dāng)BEAE于點(diǎn)E,CFAE于點(diǎn)F時,分別取AB、AC的中點(diǎn)MN,連接MEMD、NFND. 求證:∠EMD=∠FND.

圖① 圖②

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