【題目】小李在學(xué)習(xí)了定理“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”之后做了如下思考，請你幫他完成如下問題：

（1）他認(rèn)為該定理有逆定理：“如果一個三角形某條邊上的中線等于該邊長的一半，那么這個三角形是直角三角形”應(yīng)該成立.即如圖①，在中，是邊上的中線，若，求證：.

（2）如圖②，已知矩形，如果在矩形外存在一點(diǎn)，使得，求證：.（可以直接用第（1）問的結(jié)論）

（3）在第（2）問的條件下，如果恰好是等邊三角形，請求出此時矩形的兩條鄰邊與的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和即可得出結(jié)論；
（2）先判斷出OE=AC，即可得出OE=BD，即可得出結(jié)論；
（3）先判斷出△ABE是底角是30°的等腰三角形，即可構(gòu)造直角三角形即可得出結(jié)論．

（1）∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∵AD=CD，
∴∠C=∠CAD，
在△ABC中，∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAD+∠CAD=∠B+∠C+∠B+∠C=180°
∴∠B+∠C=90°，
∴∠BAC=90°，

（2）如圖②，連接與，交點(diǎn)為，連接

四邊形是矩形

（3）如圖3，過點(diǎn)做于點(diǎn)

四邊形是矩形

，

是等邊三角形

，

由（2）知，

在中，

，

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，OA是⊙O的半徑，點(diǎn)E為圓內(nèi)一點(diǎn)，且OA⊥OE，AB是⊙O的切線，EB交⊙O于點(diǎn)F，BQ⊥AF于點(diǎn)Q．

(1)如圖1，求證：OE∥AB；

(2)如圖2，若AB＝AO，求的值；

(3)如圖3，連接OF，∠EOF的平分線交射線AF于點(diǎn)P，若OA＝2，cos∠PAB＝，求OP的長．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，中，，以為直徑的交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn).

（1）求證：是的切線；

（2）已知，，求和的長.

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實(shí)數(shù)，對于函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)之差為1的任意兩點(diǎn)，，都成立，則稱這個函數(shù)是限減函數(shù)，在所有滿足條件的中，其最大值稱為這個函數(shù)的限減系數(shù)．例如，函數(shù)，當(dāng)取值和時，函數(shù)值分別為，，故，因此函數(shù)是限減函數(shù)，它的限減系數(shù)為．

（1）寫出函數(shù)的限減系數(shù)；

（2），已知（）是限減函數(shù)，且限減系數(shù)，求的取值范圍．

（3）已知函數(shù)的圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線垂直于軸，將函數(shù)的圖象在點(diǎn)右側(cè)的部分關(guān)于直線翻折，其余部分保持不變，得到一個新函數(shù)的圖象，如果這個新函數(shù)是限減函數(shù)，且限減系數(shù)，直接寫出點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（Ⅰ）如圖1，在菱形中，已知，，拋物線（）經(jīng)過，，三點(diǎn)．

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為__________，點(diǎn)的坐標(biāo)為__________；

（2）求拋物線的解析式．

（Ⅱ）如圖2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，直線垂直于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上．

（3）當(dāng)的值最小時，則點(diǎn)的坐標(biāo)為____________；

（4）在（3）的條件下，連接、、得，問在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)A（1，4）和點(diǎn)B（n，）．

（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

（2）當(dāng)一次函數(shù)的值小于反比例函數(shù)的值時，直接寫出x的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（2017江西省，第12題，3分）已知點(diǎn)A（0，4），B（7，0），C（7，4），連接AC，BC得到矩形AOBC，點(diǎn)D的邊AC上，將邊OA沿OD折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)邊為A'．若點(diǎn)A'到矩形較長兩對邊的距離之比為1：3，則點(diǎn)A'的坐標(biāo)為______________________________________．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在正方形中，是對角線上的一點(diǎn)，點(diǎn)在的延長線上，交于，．

（1）求證：；

（2）連接，若，求；

（3）如圖2，若把正方形改為菱形，其他條件不變，當(dāng)時，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，BA＝BC，以AB為直徑的⊙O分別交AC、BC于點(diǎn)D、E，BC的延長線于⊙O的切線AF交于點(diǎn)F．

（1）求證：∠ABC＝2∠CAF；

（2）若AC＝2，CE：EB＝1：4，求CE的長．

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