【題目】如圖1,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,E是AB的中點,過點E作EF//BC交CD于點F,AB=4,BC=6,∠B=60°.
(1)求點E到BC的距離;
(2)點P為線段EF上的一個動點,過點P作PM⊥EF交BC于M,過M作MN//AB交折線ADC于N,連結PN,設EP=x.
①當點N在線段AD上時(如圖2),△PMN的形狀是否發(fā)生改變?若不變,求出△PMN的周長;若改變,請說明理由;
②當點N在線段DC上時(如圖3),是否存在點P,使△PMN為等腰三角形?若存在,請求出所有滿足條件的x的值;若不存在,請說明理由.
圖1 圖2 圖3
【答案】(1) (2) ++4 當x=2或4或5-時,△PMN為等腰三角形
【解析】【試題分析】(1)在直角三角形BEG中,利用三角函數(shù)求解;(2)①如圖4,當點N在線段AD上時,△PMN的形狀不發(fā)生改變.過點N作NH⊥EF于H,設PH與NM交于點Q.先求PQ、PN、PM,再求出MN,最后求出△PMN的周長即可;②按照當PM=PN時, 當MP=MN時,當NP=NM時, 三種情況分類討論即可.
【試題解析】
(1)如圖4,過點E作EG⊥BC于G.
在Rt△BEG中, ,∠B=60°,
所以, .
所以點E到BC的距離為.
(2)因為AD//EF//BC,E是AB的中點,所以F是DC的中點.
因此EF是梯形ABCD的中位線,EF=4.
①如圖4,當點N在線段AD上時,△PMN的形狀不發(fā)生改變.
過點N作NH⊥EF于H,設PH與NM交于點Q.
在矩形EGMP中,EP=GM=x,PM=EG=.
在平行四邊形BMQE中,BM=EQ=1+x.
所以BG=PQ=1.
因為PM與NH平行且相等,所以PH與NM互相平分,PH=2PQ=2.
在Rt△PNH中,NH=,PH=2,所以PN=.
在平行四邊形ABMN中,MN=AB=4.
因此△PMN的周長為++4.
②當點N在線段DC上時,△CMN恒為等邊三角形.
如圖5,當PM=PN時,△PMC與△PNC關于直線PC對稱,點P在∠DCB的平分線上.
在Rt△PCM中,PM=,∠PCM=30°,所以MC=3.
此時M、P分別為BC、EF的中點,x=2.
如圖6,當MP=MN時,MP=MN=MC=,x=GM=GC-MC=5-.
如圖7,當NP=NM時,∠NMP=∠NPM=30°,所以∠PNM=120°.
又因為∠FNM=120°,所以P與F重合.
此時x=4.
綜上所述,當x=2或4或5-時,△PMN為等腰三角形.
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【題目】指出下列近似數(shù)精確到哪個數(shù)位:
(1)π≈3.14 精確到______. 。2)精確到____;
(3)21.80≈______(精確到個位);(4)579700 精確到千位是______.
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【題目】某跳水隊為了解運動員的年齡情況,作了一次年齡調(diào)查,根據(jù)跳水運動員的年齡(單位:歲),繪制出如下的統(tǒng)計圖①和圖②.請根據(jù)相關信息,解答下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的跳水運動員人數(shù)為 ,圖①中的值為 ;
(2)求統(tǒng)計的這組跳水運動員年齡數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù).
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,對稱軸與x軸交于點D,點E(4,n)在拋物線上.
(1)求直線AE的解析式;
(2)點P為直線CE下方拋物線上的一點,連接PC,PE.當△PCE的面積最大時,求P點坐標?
(3)點G是線段CE的中點,將拋物線y=x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′,y′經(jīng)過點D,y′的頂點為點F.在新拋物線y′的對稱軸上,是否存在點Q,使得△FGQ為等腰三角形?若存在,直接寫出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在矩形AOBC中,O為坐標原點,OA、OB分別在x軸、y軸上,點B的坐標為(0,3),∠ABO=30°,將△ABC沿AB所在直線對折后,點C落在點D處,則點D的坐標為_____.
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【題目】劉明上周末買進某只股票2000股,每股38元,下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況(單位:元)
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
每股漲跌 | +2.1 | +1.5 | -2 | -1 | +3.8 | -2.7 |
(1)星期三收盤時,每股是多少元?
(2)本周內(nèi)最高價是每股多少元?最低每股多少元?
(3)已知買進股票時付了1.5‰的手續(xù)費,賣出時需付成交額1.5‰的手續(xù)費和1‰的交稅,劉明周六收盤前全部賣出股票獲利多少?
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【題目】已知a,b,c為正數(shù),滿足如下兩個條件:a+b+c=32 ①② 是否存在以 為三邊長的三角形?如果存在,求出三角形的最大內(nèi)角.
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【題目】(1)如圖①所示,P是等邊△ABC內(nèi)的一點,連接PA、PB、PC,將△BAP繞B點順時針旋轉60°得△BCQ,連接PQ.若PA2+PB2=PC2,證明∠PQC=90°;
(2)如圖②所示,P是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)內(nèi)的一點,連接PA、PB、PC,將△BAP繞B點順時針旋轉90°得△BCQ,連接PQ.當PA、PB、PC滿足什么條件時,∠PQC=90°?請說明.
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【題目】如圖,正方形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸上,點D(5,3)在邊AB上,以C為中心,把△CDB旋轉90°,則旋轉后點D的對應點D′的坐標是 .
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