Question

如圖1，P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，且PA=CQ，連PQ交AC邊于D．
（1）證明：PD=DQ．
（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB=2，求DE的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出即可；
（2）過P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE，證△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=

1

2

AC即可．

解答： （1）證明：如圖1，過點P作PF∥BC交AC于點F；
∵PF∥BC，
∴△APF∽△ABC，
∵△ABC是等邊三角形，
∴△APF也是等邊三角形，
∴∠APF=∠BCA=60°，AP=PF=AF=CQ，
∴∠FDP=∠DCQ，∠FDP=∠CDQ，
在△PDF和△QDC中，
∵

∠PDF=∠QDC ∠DFP=∠QCD PF=QC

，
∴△PDF≌△QDC（AAS），
∴PD=DQ；

（2）解：如圖2，過P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，

∠PFD=∠QCD ∠PDF=∠QCD PF=QC

，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=

1

2

AC，
∵AC=2，
∴DE=1．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識點的應用，能綜合運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵，通過做此題培養(yǎng)了學生分析問題和解決問題的能力，題型較好，難度適中．