Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx﹣3經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖①，拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)P，且點(diǎn)P在x軸下方，線段PB繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′恰好落在拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）如圖②，直線y=x+交拋物線于A、E兩點(diǎn)，點(diǎn)D為線段AE上一點(diǎn)，連接BD，有一動點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BD以每秒1個單位的速度運(yùn)動到D，再沿DE以每秒2個單位的速度運(yùn)動到E，問：是否存在點(diǎn)D，使點(diǎn)Q從點(diǎn)B到E的運(yùn)動時間最少？若存在，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）a=1，b=﹣2；（2）P（1，﹣1）（3）D（3，）．

【解析】（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得到關(guān)于a、b的方程組，從而可求得a、b的值；

（2）先求得拋物線的對稱軸為x=1．過點(diǎn)B′作B′M⊥對稱軸，垂足為M．然后證明△BNP≌△PMB，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知BN=PM=3，PN=MB′．設(shè)P（1，m），則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1﹣m，m﹣2），最后將點(diǎn)B′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求解即可；

（3）過點(diǎn)E作EF∥x軸，作點(diǎn)DF∥y軸，則∠EFD=90°．先求得點(diǎn)G的坐標(biāo)，則可得到OG=，在Rt△AGO中，利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得∠A的度數(shù)，則∠FED=30°，依據(jù)函數(shù)30°直角三角形的性質(zhì)可得到DF=DE．則動點(diǎn)Q沿DE以每秒2個單位的速度運(yùn)動到E與它一每秒1個單位的速度運(yùn)動?xùn)|F所用時間相等．故此當(dāng)BD+DF最短時，所用時間最短，依據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知當(dāng)B，D，F(xiàn)在一條直線上時，所用時間最短，此時BE⊥BF，則點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3，然后由函數(shù)解析式再求得點(diǎn)D的縱坐標(biāo)即可．

解：（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：，

解得：a=1，b=﹣2．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3．

（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），

∴拋物線的對稱軸為x=1．

如圖所示：過點(diǎn)B′作B′M⊥對稱軸，垂足為M．

∵∠BPB′=90°，

∴∠BPN+∠B′PM=90°．

∵∠BPN+∠PBN=90°，

∴∠PNB=∠B′PM．

在△BPN和△PB′M中

∠PBN＝∠B′PM，∠BNP＝∠PM B′，PB=PB′，

∴△BNP≌△PMB．

∴BN=PM=3，PN=MB′．

設(shè)P（1，m），則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（1﹣m，m﹣2）．

將點(diǎn)B′的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：

（1﹣m）2﹣2（1﹣m）﹣3=m﹣2，解得：m1=﹣1，m2=2．

∵點(diǎn)P在x軸的下方，

∴m=﹣1．

∴P（1，﹣1）．

（3）存在．

如圖所示：過點(diǎn)E作EF∥x軸，作點(diǎn)DF∥y軸，則∠EFD=90°．

將x=0代入直線AE的解析式得y=，

∴OG=．

∴tan∠GAO=．

∴∠FEA=∠GAO=30°．

∴DF=DE．

∴動點(diǎn)Q沿DE以每秒2個單位的速度運(yùn)動到E與它一每秒1個單位的速度運(yùn)動?xùn)|F所用時間相等．

∴當(dāng)BD+DF最短時，所用時間最短．

∴當(dāng)B，D，F(xiàn)在一條直線上時，所用時間最短．

∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3．

將x=3代入直線AE的解析式得：y=．

∴D（3，）．

“點(diǎn)睛”本題考查了二次函數(shù)圖象的基本性質(zhì)，最值問題及全等三角形性質(zhì)，三角函數(shù)等知識點(diǎn)，對存在性問題進(jìn)請說明理由難度適中，適合學(xué)生鞏固知識．