Question

（2012•鄂爾多斯）如圖所示，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA=

3

，OC=1．矩形OABC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到矩形DFBE．點A的對應(yīng)點為點F，點O的對應(yīng)點為點D，點C的對應(yīng)點為點E，且點D恰好在y軸上，二次函數(shù)y=ax²+bx+2的圖象過E、B兩點．
（1）請直接寫出點B和點D的坐標；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）在x軸上方是否存在點P，點Q，使以點O、A、P、Q為頂點的平行四邊形的面積是矩形OABC面積的2倍，且點P在拋物線上？若存在，求出點P，點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)OA=

3

，OC=1，可得出點B的坐標，根據(jù)函數(shù)解析式可得出點D的坐標；
（2）過點E作EM⊥于BC點M，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度可得出∠EBM=60°，結(jié)合BE=

3

，可得出點E的坐標，將點E和點B的坐標代入可得出二次函數(shù)解析式；
（3）設(shè)點P的坐標為（x，-

4

3

x²+

3

x+2），然后根據(jù)平行四邊形OAPQ的面積是矩形OABC面積的2倍，可得出x的值，繼而可求出點P的坐標及點Q的坐標．

解答：解：（1）∵OA=

3

，OC=1，
∴點B的坐標為（

3

，1），
根據(jù)二次函數(shù)解析式為y=ax²+bx+2，可得點D的坐標為（0，2）；
綜上可得點B的坐標為（

3

，1），點D的坐標為（0，2）．

（2）過點E作EM⊥于BC點M，

∵∠EBM=60°，BE=

3

，
∴BM=

3

2

，EM=

3

2

，
∴CM=BC-BM=

3

-

3

2

=

3

2

，
∴點E的坐標為（

3

2

，

5

2

），
將點E及點B的坐標代入可得：

3a+ 3 b+2=1 3 4 a+ 3 2 b+2= 5 2

，
解得：

a=- 4 3 b= 3

，
故函數(shù)解析式為y=-

4

3

x²+

3

x+2；

（3）存在．
設(shè)點P的坐標為（x，-

4

3

x²+

3

x+2），
∵平行四邊形OAPQ的面積是矩形OABC面積的2倍，
∴

3

×（-

4

3

x²+

3

x+2）=2

3

，
解得：x₁=

3

4

3

，x₂=0，
當(dāng)x=0時，點P的坐標為（0，2），此時點Q的坐標為（

3

，2）或（-

3

，2）；
當(dāng)x=

3

4

3

時，點P的坐標為（

3

4

3

，2），此時點Q的坐標為（

7

4

3

，2）或（-

3

4

，2）；

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、旋轉(zhuǎn)角度、解直角三角形及平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握各個知識點的內(nèi)容，仔細理解題意，將所學(xué)的知識融會貫通，難度較大．