Question

對于任意的正整數(shù)n，所有形如n³+3n²+2n的數(shù)的最大公約數(shù)是什么？

Answer 1

解：n³+3n²+2n=n（n+1）（n+2），
∵n、n+1、n+2是連續(xù)的三個正整數(shù)，
∴其中必有一個是2的倍數(shù)、一個是3的倍數(shù)，
∴n³+3n²+2n=n（n+1）（n+2）一定是6的倍數(shù)，
又∵n³+3n²+2n的最小值是6，
（如果不說明6是最小值，則需要說明n、n+1、n+2中除了一個是2的倍數(shù)、一個是3的倍數(shù)，第三個不可能有公因數(shù)．否則從此步以下不給分）
∴最大公約數(shù)為6．
分析：把所給的多項式利用因式分解寫成乘積的形式：n³+3n²+2n=n（n+1）（n+2）．因為n、n+1、n+2是連續(xù)的三個正整數(shù)，所以其中必有一個是2的倍數(shù)、一個是3的倍數(shù)，可知n³+3n²+2n=n（n+1）（n+2）一定是6的倍數(shù)，所以最大公約數(shù)為6．
點評：主要考查了利用因式分解的方法解決實際問題．要先分解因式并根據(jù)其實際意義來求解．